4次元多様体と曲面結び目の特異点論的研究

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曲面結び目のnormal Euler numberに関するWhitney conjectureを解決するため,特に,2次元への射影を考えた.その射影から,射影する前の曲面結び目を復元することに成功した.3次元への射影から射影する前の曲面結び目を復元する方法にbroken surface diagramを使った手法がある.これは,3次元上に現れる特異点に4次元の情報を付加したものであり,古典的結び目で重要な役割を果たした正則射影図のアナロジーでもある.それに対し,曲面結び目を2次元へ射影すると,その特異値集合が平面内のグラフを形成する.そして,そのグラフの各edgeに帯付きbraidが対応する.帯付きbraidは,通常のbraidに帯を付加したもので,braidには曲面結び目を構成するsheet,帯にはfoldを構成するsheetがそれぞれ対応する.私はそういった方法で曲面結び目の復元に成功した.さらに,Whitneyの合同式と呼ばれるmod 4の公式を,2次元への射影を使って示すことに成功した.この合同式は,3次元への射影を使って,幾何的に解かれており,Whitney conjectureを証明する前に証明された重要な合同式である.また,曲面結び目のtotal widthと古典的結び目のwidthの下からの評価を与えた。それは自然な考察により,結び目群の生成元の個数との関係を導き出した。加えて,曲面結び目に対する領域数という不変量を定義した.これは,古典的結び目の橋指数に類似するもので,現在,n-twist spun 2-bridge knotの領域数の決定や,領域数の小さい曲面結び目の特徴づけを行った.