アーベル多様体の定義方程式と保型形式について

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アーベル多様体の定義方程式をきちんと書き下し,その係数に現れる保型形式をきちんと記述することが研究の目的であった。具体的には主偏極をもつアーベル多様体を,主偏極を与えるような直線束の3乗を使って8次元の射影空間に埋め込むことを考える.一般論によりこれは埋め込みとなり,更にSekiguchi, Kempf等の結果により,その定義方程式は2次式及び3次式で与えられることが知られている.しかしこれを具体的に書き表すのはそれほど簡単ではない.直線束の切断の標準的な基底をとり,それを使って埋め込みを与える写像を具体的に書き下すことによって、この問題を解決した.実際,9つの2次式及び3つの3次式を使って定義方程式は完全に書き下される.このときの係数はテータ級数を使って表わされるが,それはレベル3の主合同部分群に付随するSiegel保型形式となっていることが期待される.しかし実際には,36または12という大きなレベルのテータ級数の線型和として表わされることしかすぐには分からない.これが実際にレベル3の主合同部分群に付随する,指標付きの保型形式であることを証明した.先に述べた定義方程式の個数も,係数がレベル3の保型形式となることを確かめた上で得られるものである.すなわち,レベル3の保型形式は自身の研究,及びFreitag-Salvati Manniの研究により解明されており,それを使うことで不要な3次式を消去することができるのである.以上のことをまとめて論文として発表し,また国内外での研究成果発表などを行った。更により高いレベルでの埋め込みの様子を見ることを念頭に置き,レベル3以上のの保型形式の研究等を進めている.