組み合わせ最適化問題に対するテスト例題生成手法の研究

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テスト例題生成手法は,問題を解くアルゴリズムの性能を実験的に解析する際に必要となる.対象となる問題が困難なものである場合,特に,最適化問題では最適解を与えられても,それが本当に最適かどうかを判定することも困難であるので,テスト例題には正解がついていることが望ましい.したがって,本研究では,組合せ最適化問題に対する正解付きテスト例題生成手法の開発を目標とした.本年度は,昨年度に行った2CNF論理式の最大充足化問題であるMAX 2SAT問題に対するテスト例題生成手法によって生成される例題集合の難しさの解析の更なる改善を行った.昨年度に証明した結果では,生成された例題集合を判定することがNP困難であることだけではなく,近似比55/56以内で判定することも難しいということを証明していた.しかし,この近似比はMAX 2SAT問題の近似不可能性の結果である21/22と比べると大きく,最適であるとはいえなかった.そこで,証明で用いた還元を見直し,生成された例題集合を近似比21/22以内で判定することが困難であることを理論的に証明した.具体的には,各式にちょうど3個の変数が出現する,剰余2のもとでの線形連立方程式の系を解く問題であるE3Lin2問題からの還元を用いた.この還元はMAX 2SATの近似不可能性21/22を示すために用いられたものであるが,今回の証明ではこの還元がある種の性質を満たすことを示す必要があったので,必ずしも自明な結果ではない.この結果はさらに,他の最適化問題における最適解付きのテスト例題生成手法で生成される例題集合の難しさを確立するための手段として有望であることが考えられる.