Study of real hypersurfaces in complex space forms

複素空間型内の実超曲面のリッチテンソル, 構造ヤコビ作用素, 構造テンソル場が等質実超曲面, 特に(A)型の等質実超曲面をどのように特徴付けるかという点に関して研究し一定の成果を得た. 具体的には, 構造ヤコビ作用素と構造テンソル場が可換であるものは(A)型の等質実超曲面とある種のホップ実超曲面を特徴づけることを複素空間型の次元が2, 3の場合も含めて証明した. また挟撃問題に関しても, (B)型の等質実超曲面を個別に特徴づける定理に対する新しい知見が得られ, 極小ではない場合も含めて研究に進展があったと考えている. (A)型の等質実超曲面のスカラー曲率に対する挟撃問題については, 極小の場合にLowsonが第2基本形式の長さの平方がc/2(n-1)以下ならば(A)型の等質実超曲面であることを証明した. 極小の場合等質実超曲面に対しては, (A)型の実超曲面と(B)型の実超曲面とは第2基本形式の長さの平方は異なる値を取り, (B)型から(E)型までは全て同じ値を取る. したがって第2基本形式の長さのみでは(B)から(E)型までを区別することは出来ない. ところが, 構造ベクトル場方向の主曲率に着目すると, それらは(B), (C), (D), (E)型で全て異なる値を取ることが分かる. そこで, 我々は複素空間型内の実超曲面におけるSimon stypeの公式を用いて, 第2基本形式の長さの平方がc/2(3n-1)以下で構造ベクトル場方向の主曲率の平方が(n-1)c以上である極小実超曲面は(B)型であることを証明した. 実超曲面が必ずしも極小でない場合に関しては, コンパクトで向き付け可能な時に奥村正文氏による挟撃定理がある. 奥村氏は矢野の積分公式を用いてこれを証明した. 我々は, 実超曲面におけるSimons typeの公式と, 発散定理を用いることによってその別証明を見出し, さらにその手法を用いて(B)型の実超曲面の特徴付けを与える奇, Kim, 中川氏の定理の別証明を見出すと共に, その挟撃数の意味を見出した.

複素空間型内の実超曲面のリッチテンソル, 構造ヤコビ作用素, 構造テンソル場が等質実超曲面, 特に(A)型の等質実超曲面をどのように特徴付けるかという点に関して研究し一定の成果を得た. 具体的には, 構造ヤコビ作用素と構造テンソル場が可換であるものは(A)型の等質実超曲面とある種のホップ実超曲面を特徴づけることを複素空間型の次元が2, 3の場合も含めて証明した. また挟撃問題に関しても, (B)型の等質実超曲面を個別に特徴づける定理に対する新しい知見が得られ, 極小ではない場合も含めて研究に進展があったと考えている. (A)型の等質実超曲面のスカラー曲率に対する挟撃問題については, 極小の場合にLowsonが第2基本形式の長さの平方がc/2(n-1)以下ならば(A)型の等質実超曲面であることを証明した. 極小の場合等質実超曲面に対しては, (A)型の実超曲面と(B)型の実超曲面とは第2基本形式の長さの平方は異なる値を取り, (B)型から(E)型までは全て同じ値を取る. したがって第2基本形式の長さのみでは(B)から(E)型までを区別することは出来ない. ところが, 構造ベクトル場方向の主曲率に着目すると, それらは(B), (C), (D), (E)型で全て異なる値を取ることが分かる. そこで, 我々は複素空間型内の実超曲面におけるSimon stypeの公式を用いて, 第2基本形式の長さの平方がc/2(3n-1)以下で構造ベクトル場方向の主曲率の平方が(n-1)c以上である極小実超曲面は(B)型であることを証明した. 実超曲面が必ずしも極小でない場合に関しては, コンパクトで向き付け可能な時に奥村正文氏による挟撃定理がある. 奥村氏は矢野の積分公式を用いてこれを証明した. 我々は, 実超曲面におけるSimons typeの公式と, 発散定理を用いることによってその別証明を見出し, さらにその手法を用いて(B)型の実超曲面の特徴付けを与える奇, Kim, 中川氏の定理の別証明を見出すと共に, その挟撃数の意味を見出した.