非線形拡散方程式の爆発問題と解の形状

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本年度は、冪乗型非線形項や指数型非線形項を含む、一般の非線形性を持つ半線形熱方程式に対する解の爆発集合の特徴付けに関する研究を行った。昨年度までの研究で、非線形項が冪乗型の場合に、半線形熱方程式の解の爆発集合の位置と拡散係数との関係が明らかとなった。その際、柳下氏による、初期値の最大点近くで解と同時に爆発する優解の構成法を改良し、議論を進めたが、それらの議論は非線形項の型に強く依存しているため、非線形項が一般の場合には、その議論を直接適用することはできない。本年度の研究では、このような優解が構成できるために非線形項が満たすべき条件を導出し、昨年度の結果の拡張に成功した。特に、指数型非線形項を含む一般の半線形熱方程式の解に対して、拡散係数が十分に小さいならば、解は初期値の近くでのみ爆発することを示した。また、これまで行ってきた拡散係数が十分に小さい場合の研究を通して、爆発時刻直前での解の形状と爆発集合の位置との関係が明らかになってきており、その応用として、零ディリクレ境界条件下における境界爆発解の非存在の証明への応用が可能であると予想している。今年度は、円環領域における拡散係数が十分に小さいとは限らない場合の半線形熱方程式の爆発問題を考察した。領域が円環領域の場合、moving plane法と呼ばれる手法を用いることで、外側の領域においては解が爆発しないことは示せるが、球対称解に限っても内側の領域で解が爆発する可能性を否定することはできない。この研究では、これまで得られた爆発集合の位置と爆発直前での解の形状との関係を用いることで、ディリクレ境界条件下において、解は領域内部でのみ爆発し、境界上では爆発しないことを示す。そのためには、解の増大度に関する評価や微分評価などを導く必要があるが、円環領域における球対称解に対しては必要な評価を導出できると考えている。