半順序集合とチェビシェフ多項式に関する組合せ論的研究

本研究は弱ブリュア順序に纏わる組合せ論的に興味深い対象を考察することを中心に行われた。得られた成果としては次の2件があげられる。即ち1.変形された非交叉分割におけるメビウス関数の計算および2.123-132-213パターンおよび321パターンを排する弱ブリュア順序における部分束達に対するNBB基底の具体的記述である。1に関して自然な意味での非交叉分割は対称群におけるアブソリュート順序から定義することができ、結果一般コクセタ一群にまで拡張することができる。つまり非交叉分割とコクセタ一群を交えた議論が期待できる対象である。Armstrongは一般コクセター群に拡張された非交叉分割をさらに自然数でパラメトライズされた一般非交叉分割を定義して組合せ論的表示およびメビウス関数、ゼータ関数の計算を行いフス・カタラン数で数え上げられることを示した。私はArmstrongの論文において予想として述べられていたトランケート型におけるメビウス関数の値をELラベリングの手法を用いて肯定的に解決した。本結果は現在投稿中であり、プレプリントに関しては備考欄(1)を参照のこと。次に2に関して述べる。ある種のパターンを排する置換の数え上げが現在Mansourらにより活発に研究されている。とくに弱ブリュア順序を入れたときタマリ束など自然な対象が現れる点から非常に興味深い対象であると思われる。一方束のアトムに対してNBB基底を定義することができとくにメビウス関数を始めとする組合せ論的量の計算に非常に有効であることが知られている。私は123-213-132パターンを排するときおよび321パターンを排する場合に対してそれぞれ束になるという点に着目してNBB基底を記述した。そしてメビウス関数の計算を行いq-フィボナッチ多項式の特殊化として与えられることを示した。本結果は現在投稿中であり、プレプリントに関しては備考欄(2)を参照のこと。

本研究は弱ブリュア順序に纏わる組合せ論的に興味深い対象を考察することを中心に行われた。得られた成果としては次の2件があげられる。即ち1.変形された非交叉分割におけるメビウス関数の計算および2.123-132-213パターンおよび321パターンを排する弱ブリュア順序における部分束達に対するNBB基底の具体的記述である。1に関して自然な意味での非交叉分割は対称群におけるアブソリュート順序から定義することができ、結果一般コクセタ一群にまで拡張することができる。つまり非交叉分割とコクセタ一群を交えた議論が期待できる対象である。Armstrongは一般コクセター群に拡張された非交叉分割をさらに自然数でパラメトライズされた一般非交叉分割を定義して組合せ論的表示およびメビウス関数、ゼータ関数の計算を行いフス・カタラン数で数え上げられることを示した。私はArmstrongの論文において予想として述べられていたトランケート型におけるメビウス関数の値をELラベリングの手法を用いて肯定的に解決した。本結果は現在投稿中であり、プレプリントに関しては備考欄(1)を参照のこと。次に2に関して述べる。ある種のパターンを排する置換の数え上げが現在Mansourらにより活発に研究されている。とくに弱ブリュア順序を入れたときタマリ束など自然な対象が現れる点から非常に興味深い対象であると思われる。一方束のアトムに対してNBB基底を定義することができとくにメビウス関数を始めとする組合せ論的量の計算に非常に有効であることが知られている。私は123-213-132パターンを排するときおよび321パターンを排する場合に対してそれぞれ束になるという点に着目してNBB基底を記述した。そしてメビウス関数の計算を行いq-フィボナッチ多項式の特殊化として与えられることを示した。本結果は現在投稿中であり、プレプリントに関しては備考欄(2)を参照のこと。