結晶成長形と偏微分方程式の漸近解析

晶体生长形式和偏微分方程的渐近分析

基本信息

批准号：
20654017
负责人：
儀我美一
金额：
$ 2.05万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

結晶成長現象を記述する方程式で最も簡単なものは、結晶成長の法速度Vが結晶方位(法ベクトル)nにのみよる関数M(n)>0に比例する場合である。M(n)が定数の場合はいわゆるホイヘンスの原理で結晶が成長する。一方、結晶成長形にはしばしばファセットと呼ばれる平らな面が現れる。これはMがnによるような異方性を持つ場合、V=M(n)c(c>0定数)に直線部分(平面部分)を持つ自己相似解を持つ場合である。結晶成長学では、cが定数ではなくても、それが定数に近ければファセット面は維持されると考えられているが、数学の枠組みではファセットが崩れず成長するためには、明らかにcは空間方向について定数である必要がある。本年度は、このファセット形式のメカニズムを説明する可能性のある数学解析の理論を2種類確立した。一つはファセットを非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の解の漸近形のうち、等速で動く部分と理解する方式である。この枠組では曲率の効果を無視している。これについては非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の高次元での時間無限大での挙動を記述する数学理論を構築することに成功した。粘性解理論の新たな発展に寄与した。もう一つは特異な曲率流方程式によるとらえ方である。こちらは問題の定式化自体がなかなか難しいが、粘性解の理論および自由境界価問題の手法を拡張することにより、いくつかの具体的なファセット分裂を起こす解を構成することに成功した。また、比較原理が十分一般的な設定で成立することも示した。

描述晶体生长现象的最简单方程是当晶体生长的模态速度V与函数m（n）> 0成正比时，仅基于晶体方向（模态矢量）n。如果m（n）是一个常数，则使用所谓的Huygens原理生长晶体。另一方面，晶体生长的形式通常具有称为面的平坦表面。这是M具有诸如N等各向异性的时候，而当V = M（N）C（C> 0常数）具有带有线性部分（平面部分）的自相似溶液。在晶体生长中，人们相信，即使C不是常数，如果尺寸的表面接近常数，但在数学框架中也可以保持尺寸的表面，以使方面生长而不会崩溃，C显然需要在空间方向上是一个恒定的。今年，我们建立了两种数学分析理论，可以解释该方面类型的机制。一种是理解方面的方法，是以恒定速度移动的非压缩汉密尔顿 - 雅各布方程解决方案的渐近形式的一部分。该框架忽略了曲率的效果。这已经成功地构建了一种数学理论，该理论描述了在高维时间无穷大的情况下进行非压缩汉密尔顿 - 雅各布方程的行为。它促进了粘度解决方案理论的新发展。另一个是通过单数曲率流程方程来解释它的方式。尽管问题本身的表述非常困难，但通过扩展粘性解决方案的理论和自由边界价值问题的方法，我们成功地构建了引起多种具体方面分裂的解决方案。这也表明，比较原理在一般环境中良好。