熱場の量子論の数学的解析

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京都大学の安藤浩志氏と共同でSorin Popa氏が2007年にInventiones Mathematicaeで提起した位相群の埋め込み問題について研究を行った.具体的には与えられたPolish群がいつ有限von Neumann環のユニタリ群に埋め込めるか特徴づけを与えよ,という問題を考察した.Popa氏は氏のコサイクル超剛性定理を述べる際のtarget groupとしてこのような群を採用し,有限型Polish群と呼んだ.自明な考察から有限型Polish群は(1)無限次元Hilbert空間上のユニタリ群に埋め込め,更に(2)compatibleな両側不変距離を持つ.(2)は有限von Neumann環がトレースを持つことから従う.Polish群がこの2つの条件を持てば有限型か,というのがPopa氏の問題である.我々は昨年度,局所コンパクト群とamenable群の場合にこの問題を肯定的に解いた.一方で具体的な例はあまり知られていなかった.Popa氏も自明な例(可換群,離散群,コンパクト群)を挙げる以外に特に例を構成していない.我々は実際に有限型Polish群の例を見つけることに成功した.(1)可分な無限次元Hilbert空間上のユニタリ作用素でHilbert-Schmidt作用素の差を除いて恒等作用素なもの全体の成す群.(2)II_∞型von Neumann環のユニタリ元でL^2の差を除いて恒等作用素なもの全体の成す群.(3)性質(T)を持つvon Neumann環の自己同形群など.それに対対して超有限II_1型因子環の自己同形群は有限型Polish群ではない.物理学に現れるどのような無限次元群が有限型Polish群かどうか判定すること,及びPopaの問題を一般の場合に解くことは今後の課題である.