作用素環論による諸問題への非可換関数解析的な取り組み

作用素環とは、ヒルベルト空間上の有界線形作用素のなす代数のことであるが、ほとんどの場合、共役作用で閉じたものを扱う。なぜなら、自己共役な作用素環(一般にC*環と呼ばれる)は半単純であり、さらにスペクトル理論も十分に使えて、より詳細な研究が可能だからである。しかし、自己共役でない一般の作用素環の研究も大切であり、例えばC*環に対して得られた定理が自己共役の条件をはずしたときどの程度成り立つかを調べるととは重要なことである。C*環論において、Kadison-Kastler予想と呼ばれる重要な予想がある。これは、適当な意味で近いC*環は実はより強い意味で同型(ユニタリ同値)であろうというものである。この予想自身は最近、核型と呼ばれる性質の良いC*環に対して成り立つことがE. Christensen, A.M. Sinclair, R.R. Smith, S.A. White, W. Winter(Proc. Natl. Acad. Sci. USA107(2010))によって示されている。本研究計画において、主研究者のRoydorは、このKadison-Kastler予想の類似を自己共役でない作用素環について調べることに注力した。特に、上記のChristensenらによる重要な結果を、核型C*環から(自己共役とは限らない)従順な作用素環に一般化すべく研究を行い、その第一歩として摂動問題を解き、漸近的埋め込みは真の埋め込みの摂動に限るという結果を得た。証明は、上記のE.Christensenらの手法を自己共役とは限らない作用素環に適合させた上で、Banach環論におけるB. E. Jonnsonの漸近準同型の理論を適用するという汎用性の高いもので、類似した他のケースにも適用可能であると思われる。研究完成に向けたさらなる中間的な結果も既に得ている。また、Kadison-Kastler予想の双対作用素環に対する類似の研究も行い、同様の結果を得ている。

作用素環とは、ヒルベルト空間上の有界線形作用素のなす代数のことであるが、ほとんどの場合、共役作用で閉じたものを扱う。なぜなら、自己共役な作用素環(一般にC*環と呼ばれる)は半単純であり、さらにスペクトル理論も十分に使えて、より詳細な研究が可能だからである。しかし、自己共役でない一般の作用素環の研究も大切であり、例えばC*環に対して得られた定理が自己共役の条件をはずしたときどの程度成り立つかを調べるととは重要なことである。C*環論において、Kadison-Kastler予想と呼ばれる重要な予想がある。これは、適当な意味で近いC*環は実はより強い意味で同型(ユニタリ同値)であろうというものである。この予想自身は最近、核型と呼ばれる性質の良いC*環に対して成り立つことがE. Christensen, A.M. Sinclair, R.R. Smith, S.A. White, W. Winter(Proc. Natl. Acad. Sci. USA107(2010))によって示されている。本研究計画において、主研究者のRoydorは、このKadison-Kastler予想の類似を自己共役でない作用素環について調べることに注力した。特に、上記のChristensenらによる重要な結果を、核型C*環から(自己共役とは限らない)従順な作用素環に一般化すべく研究を行い、その第一歩として摂動問題を解き、漸近的埋め込みは真の埋め込みの摂動に限るという結果を得た。証明は、上記のE.Christensenらの手法を自己共役とは限らない作用素環に適合させた上で、Banach環論におけるB. E. Jonnsonの漸近準同型の理論を適用するという汎用性の高いもので、類似した他のケースにも適用可能であると思われる。研究完成に向けたさらなる中間的な結果も既に得ている。また、Kadison-Kastler予想の双対作用素環に対する類似の研究も行い、同様の結果を得ている。