超幾何関数を用いた多重ゼータ値の母関数の研究

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本研究は、多重ゼータ値の生成する環の構造、とりわけ多重ゼータ値とリーマンゼータ値の間に成立する関係式の具体的解明を目的としている。そのために等号付き多重ゼータ値の双対的な関係式について、その母関数と超幾何関数を用いた研究を行った。多重ゼータ値はオイラーの時代から研究されている数論的な起源をもつ対象であり、多重ゼータ値を研究する上で、それらの成す関係式族の解明がとても重要である。本研究では多重ゼータ値と環構造が一致する等号付き多重ゼータ値の視点から、多重ゼータ値の環構造を解明する。当該年度においては、等号付き多重ゼータ値の母関数と関係のある、一般超幾何関数3F2の特殊値の対称性による関係式を示した。超幾何関数2F1の特殊値はガンマ関数を用いた表記が知られているが、3F2においては同様の関係式は知られていない。しかし今回の研究で、対称的なパラメーターをもつ3F2を足し合わせることでガンマ関数を用いた表記が得られた。等号付き多重ゼータ値の母関数と一般超幾何関数3F2の特殊値との関係は、青木・昆布・大野の研究により知られている。今回わかった3F2の特殊値の関係式と青木・昆布・大野の関係式を用いることで、等号付き多重ゼータ値の双対的な性質の再証明も得られた。双対的な性質は金子・大野によって予想され、2011年に李によって証明されており、等号付き多重ゼータ値とリーマンゼータ値の間の関係式を与える重要な性質である。新たに一般超幾何関数3F2の特殊値の関係式を用いた再証明が得えたことにより、等号付き多重ゼータ値の双対的な性質が一般超幾何関数3F2の特殊値の対称性に起因していることが初めてわかった。