調和写像のバブル現象に関する研究

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調和写像は、多様体間の写像の勾配の2乗積分により与えられるエネルギー汎函数の臨界点として定義され、大域解析学における代表的な研究対象となっている。調和写像論における最も基本的な問題の一つはその存在であり、たとえば Dirichlet 境界値問題や、与えられたホモトピー類を代表する調和写像を見付けるなどといった問題が代表的である。本研究では、一般次元における調和写像の存在理論を展開するために、いわゆる指数調和写像を用いた調和写像の「近似列」の解析を行なう。調和写像とは異なり、指数調和写像は任意の次元で与えられたホモトピー類に常に存在することが知られたおり、よってそのような「近似列」がいつでも構成できるというのが本研究の最大の特色である。前年度までの研究で、値域の多様体の曲率が非正である場合、および定義域の次元が2である場合における「近似列」の収束を調べることに成功した。本年度は、当初の目的である、一般次元における収束の考察をこれまでとは異なる「近似列」に対して行なった。すなわち、指数調和写像方程式の時間発展型方程式の解がなす「近似列」である。そして、もし空間方向に関するエネルギーの単調性公式が成り立つならば、そのような「近似列」は、定義域Mにおいて高々(dimM-2)次元の特異点集合の外では、ある調和写像に収束することが確かめられた。ただ、そのような単調性公式が常に成り立つことは確認できなかった。今後の課題である。また、調和写像の近似とは独立に、指数調和写像そのものの存在への熱流の方法を用いたアプローチも試みた。そして、多様体がコンパクトでありさえすれば、それらのトポロジーや幾何に関係なく、指数調和写像流に対して勾配評価が成り立つことが確認できた。今後は、実際に時間無限大である指数調和写像に一様収束することが確かめるのが目標である。