高次元アーベル商特異点に対するクレパント特異点解消について

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今年度行った主な研究内容は、前年度行った研究で得られた定理の一般化についてである。前年度は、3次元のマッカイ対応のある種の一般化を目標に、具体的に例を挙げる研究を行い、アフィン・トーリック・3次元端末的多様体に対し、その上に対角的に作用する有限群による商として得られる空間がゴレンシュタイン特異点を持つ場合に、クレパント特異点解消が存在する条件を出した。この中の「対角的に作用する」という仮定が不自然であり、これに対して数学的な意味づけを行った。もともとは、孤立特異点のような議論が低次元の場合に帰着しないための仮定を狙った訳だが、これを数学的に証明しようという試みである。具体的な内容は以下のとおりである。複素4次元アフィン空間の中のxz-ywという定義方程式で得られるコニフォールドという図形Xを、その上に作用する有限群Gで割った空間X/Gを考えるとき、GはGL(4,C)の有限部分群として表せることが知られている。クレパント特異点解消の存在について考えるので、X/Gの特異点がゴーレンシュタインになる場合に限定する。GがSL(4,C)の有限部分群とし、X/Gの特異点の出方について分類し、作用が対角的になるかどうかの研究を行った。この分類の中で、X/Gの特異点の出方が良い場合には低次元の既出の結果が使え、クレパント特異点解消が明らかにある。前年度の結果のクレパント特異点解消が存在する場合の結果は、この場合には当てはまらない。よって、結果として数学的に意味があるものである。また、この研究の中で、X/Gが孤立特異点を持つ場合にはクレパント特異点解消が存在しないという予想を立てた。現在、研究中である。