絡み目の橋分解の研究

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本年度に実施した研究の成果は、主に前年度に得られた研究成果の一般化や応用に関するものである。まず、「絡み目の橋数と絡み目群のメリディアン階数は一致するか?」というCappell-Shaneson問題について、前年度Boileau教授との共同研究により部分的な解決を得ることができたが、本年度はその一般化に取り組んできた。5月下旬からBoileau教授が広島大学を訪問した際に議論を行い、種数2の3次元多様体の基本群の生成元に関するある命題を認めれば、代数絡み目を含むより一般の絡み目に対して橋数が3であることと絡み目群のメリディアン階数が3であることが同値ということを示した。今後もここで必要となった命題の証明やこの結果の更なる一般化に取り組む。また、前年度に石井敦氏、岩切雅英氏、大城佳奈子氏との共同研究によって得られたハンドル体絡み目の新しい不変量を用いて、幾つかのハンドル体絡み目とその鏡像を区別することに成功した。この中には既存のハンドル体絡み目不変量では区別できなかったものも含まれている。今後この不変量が絡み目の橋分解や解消トンネルの区別に役立つことも期待できる。絡み目の橋分解の距離に関しても研究を行い、特に絡み目が補空間の中に本質的曲面を持つ場合に与えられていたBachman-SchleimerやTomovaの距離の評価を、一部の場合において改良することが出来た。この結果と高尾和人氏による距離の下からの評価方法を組み合わせれば、ある種の絡み目についてその3橋分解の距離が全て2であることが証明できる。これらの結果等について、第58回トポロジーシンポジウムでの招待講演を含め、国内外の研究集会・勉強会・セミナーにおいて計10回の研究発表を行った。また、1月にはアイオワ大学を訪問し、Tomova氏と絡み目の橋分解やその距離に関する議論を行い、様々な情報やアイデアを得ることが出来た。