格子上の確率過程の数理物理学的研究

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1次元格子上の相互作用する多粒子の確率過程を厳密に解析するための新しい手法の開発とその応用について研究を行った。具体的には定常状態(遷移率行列の固有値0に対する固有ベクトル)を厳密に求める手法であるマトリックス・プロダクト・アンザッツを遷移率行列の実部負の固有値に対する固有ベクトルにも適用できるように拡張を試みた。ここで拡張とは単に形式的に解を書くことに留まらずマトリックスの表現や満たすべき代数関係式を書き下すことを意味する。排他過程の粒子の種類を増やした拡張(多成分)に対して,粒子の種類の異なる遷移率行列をつなげるインタートワイナーをマトリックス・プロダクトの形で導出するための手法を確立した。実際,この手法に則り周期および「閉じた」境界条件においてインタートワイナーを構成することができ,それを作用させることで粒子の種類の少ない系の固有ベクトルを利用し粒子の種類の多い系の固有ベクトルを作ることができるようになった。これはベーテ・アンザッツにおいてB作用素を掛けることに似ているが,新しい手法の計算の方が圧倒的に簡単である。このインタートワイナーを具体的に構成するアイデアをq変形されたAKLTモデルの基底状態にも用いて,相関関数を厳密に計算することができた。また離散時間の排他過程で粒子のホッピングが決定論的な場合かつ待ち行列の拡張と見なせる境界条件(排他的待ち行列)において,時間依存の解の母関数をマトリックス・プロダクトで書くことができた。これを利用し排他的待ち行列の漸近挙動を厳密に計算することに成功し,マトリックス・プロダクト・アンザッツの応用可能性を大きく広げた。