リー群上の左不変な幾何構造と等質部分多様体

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本年度はリー群上の左不変ローレンツ計量と対応する部分多様体の性質に関する研究に取り組んだ.特に左不変ローレンツsolvsoliton計量に対応する部分多様体がどのような性質を持つかを調べるため, まずは低次元可解リー群の場合に左不変ローレンツsolvsoliton計量を許容するリー群の分類を行った.低次元可解リー群上の左不変ローレンツsolvsoliton計量の分類に関して, 以下のとおり研究を行った.1. 各リー群に対して, その上の左不変ローレンツ計量のなす空間を, スカラー倍を除いて等長的という同値関係で割った空間を考察し, 軌道空間としての具体的な表示を与えた.2. 得られた軌道空間の表示を用いて, (左不変ローレンツ計量に対する)Milnor型定理を構成した.3. Milnor型定理を用いて, 左不変ローレンツsolvsoliton計量となるものを分類した.3次元リー群の場合にはすでに先行研究によりsolvsoliton(代数的Ricci soliton)の分類結果は知られていたが, 対応する部分多様体との対応が非常にわかりにくかった. そのため3次元可解リー群の場合にも左不変ローレンツ計量に対するMilnor型定理を用いた分類を与えた.結果として, 3次元可解リー群を含むいくつかの低次元リー群に対して, Milnor型定理を用いてその上の左不変ローレンツsolvsoliton計量を分類することができた.今回得られた分類結果の中のいくつかは, これまで左不変ローレンツsolvsoliton計量の分類はなされていなかったと思われる. また対応する部分多様体がどのようなものかも明確になっていることから, 対応する部分多様体の性質を調べる上で重要な結果であると思われる.