ウェーブレットの構成及び偏微分方程式の数値解析的研究

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今年度は, 主に以下の4つについて研究を行った.1. 補間スケーリング関数を用いて, 2次元の基底関数を構成し, 重み付き残差法による偏微分方程式の数値解析を行った. さらに, 本手法を古典的な手法であるスプライン関数による方法と組み合わせることにより, 計算量を大きく変えずに, 解析精度を向上させることに成功した.2. 既存のDaubechiesウェーブレットの概念を拡張し, fractional orderのDaubechiesウェーブレットを構成した. この構成したウェーブレットの中には, これまであった自然数次数のウェーブレットに比べて, 時間周波数窓がより小さいウェーブレットが存在することを示した. また, 正則性についても評価を与えた.3. Unser-Blu (2000)がfractional order B-splineを構成したが, 我々は研究2. に沿って, Unser-Bluとは異なる手法によってfractional order B-splineを構成した. この構成したB-splineは, UnserらによるB-splineでは失われていたコンパクトサポート性と正値性を保持している. そのため, 数値解析への応用も期待できる. また, 正規直交化, dual関数の構成も容易に行えるため, fractional order Battle-Lemarieウェーブレット, Strombergウェーブレット, dualスケーリング関数の構成にもつなげることができる. また, Fractional order B-splineに対応するローパスフィルタを具体的にパラメータを用いて表現することもできた. さらに, 正則性に関する評価についても, パラメータを用いてより具体的な評価を与えることに成功した.4. Prouhet-Thue-Morse数列を利用することによる, band-limitedウェーブレットの構成に取り組んだ. 結果, Lemarie-Meyerウェーブレットの一般化にあたる, 新たなウェーブレットの構成に成功した.