部分因子環の平面代数を用いた、結び目と３次元多様体の不変量の研究

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今年度の研究目的は次の3つであった。(i)E_<6>型の状態和不変量の組み合わせ的構成を実際に用いて、具体的な3次元多様体に対する計算例を与え、そこから値の周期性などの定性的な現象を見出すこと。(ii)E_<8>型及び、よりindexの高い部分因子環から定義される状態和不変量を平面代数の言葉だけを用いて組み合わせ的に再定義し、具体的な3次元多様体の計算例を与えること。(iii)上述の種々の状態和不変量について、そのZ/2Z係数ホモロジー及びスピン構造に由来した精密化不変量を構成すること。私は論文"The E_<6> state sum invariant of lens spaces" (arxiv : 1403.3506, J. Knot Theory Ramificationsに投稿中)において、レンズ空間のE_<6>状態和不変量の値を全て計算し、この不変量が有向レンズ空間に対してはホモトピー不変量であることを示した。この結果により計画(i)が概ね達成された。現在、私は論文"An elementary proof of a non-triviarity of tho E_<8> subfactor planar algebra"を執筆中である。これは平面代数の初等的構成に係るKuperberg programと呼ばれる問題を、E_<8>部分因子環についても解決するものである。E_<8>型の線形スケインの定義は島線形スケインのそれよりも複雑であるが、Jones-Wenzlべき等元の分割公式などの技術的な補題を用意することでその複雑さを解消し場線形スケインの場合と同じ議論が使えるようにできた。この結果により計画(ii)が中途まで達成された.