関数データ解析的アプローチによる代数的位相アンラップと信号処理問題への応用

２次元の複素信号の観測データから，真の連続位相を推定する問題である「２次元位相アンラップ問題」に対し，研究員らのグループは1. 離散複素信号を表現する連続な複素関数を構成し，2. 代数的位相アンラップを用いて対応する連続位相を厳密に計算する，という２段階の超解像位相アンラップ法を提案している．今年度は，新たに単位円周上の代数的位相アンラップの数値的不安定性の解消に取り組んだ．単位円周上の位相アンラップは，「フィードバックシステムの安定性解析」や「複素ケプストラム計算」などで必要とされ，代数的位相アンラップを用いれば所望の連続位相が厳密に計算される．しかしながら，実際には多項式除算型の計算による数値的不安定性が原因となり，特に高次の複素多項式に対して，位相アンラップに失敗してしまう問題があった．代数的位相アンラップの成功のカギは，多項式除算型の計算によって得られる「スツルム列」と呼ばれる関数列の符号判定にかかっている．研究員は新たに「自己反転型多項式除算」を定義し，それにより得られる新たなスツルム列を用いても連続位相が計算可能なことを明らかにした．次に，再定義されたスツルム列の符号が新たに開発した「自己反転型部分終結式」と呼ばれる行列式から判定できることを示した．これにより，多項式除算型の計算を介さずに代数的位相アンラップが実装可能となり，実際に数値実験により代数的位相アンラップが劇的に安定化されることを示した．提案手法は到来方向推定で重要な「MUSICスペクトルのピークサーチ」への応用が期待でき，超解像位相アンラップ法の今後の更なる発展が期待できる．

２次元の複素信号の観測データから，真の連続位相を推定する問題である「２次元位相アンラップ問題」に対し，研究員らのグループは1. 離散複素信号を表現する連続な複素関数を構成し，2. 代数的位相アンラップを用いて対応する連続位相を厳密に計算する，という２段階の超解像位相アンラップ法を提案している．今年度は，新たに単位円周上の代数的位相アンラップの数値的不安定性の解消に取り組んだ．単位円周上の位相アンラップは，「フィードバックシステムの安定性解析」や「複素ケプストラム計算」などで必要とされ，代数的位相アンラップを用いれば所望の連続位相が厳密に計算される．しかしながら，実際には多項式除算型の計算による数値的不安定性が原因となり，特に高次の複素多項式に対して，位相アンラップに失敗してしまう問題があった．代数的位相アンラップの成功のカギは，多項式除算型の計算によって得られる「スツルム列」と呼ばれる関数列の符号判定にかかっている．研究員は新たに「自己反転型多項式除算」を定義し，それにより得られる新たなスツルム列を用いても連続位相が計算可能なことを明らかにした．次に，再定義されたスツルム列の符号が新たに開発した「自己反転型部分終結式」と呼ばれる行列式から判定できることを示した．これにより，多項式除算型の計算を介さずに代数的位相アンラップが実装可能となり，実際に数値実験により代数的位相アンラップが劇的に安定化されることを示した．提案手法は到来方向推定で重要な「MUSICスペクトルのピークサーチ」への応用が期待でき，超解像位相アンラップ法の今後の更なる発展が期待できる．