Singuläre Limiten diskreter Modelle

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Behandelt werden die Probleme singulärer Grenzwerte diskreter Modelle, die die Freie Energie von geordneten atomaren Gittern repräsentieren. Untersucht wird das Verhalten dieser Systeme für den Grenzfall unendlich vieler Teilchen, d.h. wenn der Abstand zwischen den Atomen gegen Null geht. Ein besonderer Schwerpunkt wird dabei auf solche Ansätze für die Freie Energie gelegt, die mehrere Phasen erzeugen und Oberflächenenergie zwischen diesen Phasen produzieren. Im allgemeinen wird im G-Limes die Oberflächenenergie nicht auftreten. Hier erhoffen wir Rückschlüsse mittels G-Entwicklung und Verwendung von Young-Maßen auf die Feinstruktur der Lösungen. Es kommen Methoden der Analysis sowie der geometrischen Maßtheorie zum Einsatz. Ein wesentliches Ziel ist die Behandlung des Grenzwertes zwei- und höherdimensionaler atomarer Gitter, welcher bislang noch wenig untersucht ist. Gegebenenfalls sind erweiterte Grenzwertbegriffe zu entwickeln, die zusätzliche Informationen, etwa über die lokale Gitterordnung, im Limes angeklebt mit enthalten. Numerische Verfahren haben je nach Diskretisierung möglicherweise eine unterschiedliche Oberflächenenergie. Bei numerischen Simulationen der Cahn-Hilliard-Gleichung mit Elastizität für verschwindende Grenzschichtdicke erzeugt die numerische Approximation eine künstliche Oberflächenenergie, die die Lösung regularisiert und zu unsinnigen Ergebnissen führt. Diese Problemklasse soll verstanden und einer verallgemeinernden systemtischen Behandlung zugänglich gemacht werden.