ＧＫＭ理論の拡張とその応用

当該研究課題であるGKM理論の適用できるregular semisimple Hessenberg多様体について研究を行った。特にA型のregular semisimple Hessenberg多様体の同変コホモロジー環についての研究を行った。Hessenberg多様体は正ルート系の良い部分集合（lower ideal）に対して定まる旗多様体の部分多様体（subvariety）である。特に対称群の表現として見たときの同変コホモロジー環の振る舞いについて調べた。その同変コホモロジー環には2種類の対称群の作用があり、今回研究したのは同変パラメーターに非自明に作用し、トートロジカル直線束（の制限）のオイラー類に自明に作用するものである。このとき、同変コホモロジー環をそれらのオイラー類で割った環を考えると、次数を忘れると対称群の表現として正則表現が得られることが知られている。また、この作用はregular semisimple Hessenberg多様体のHessenberg twinと呼ばれる多様体のコホモロジー環への作用として自然に現れることが分かった。特に旗多様体のコホモロジー環を対称群の正則表現と見たとき、各既約表現はnの分割に対応し、その個数はその分割上のヤング盤の数に等しく、各ヤング盤のcochargeという量を計算するとどの次数にその既約表現が現れるかを知ることができる。この既知の結果をregular semisimple Hessenberg多様体のHessenberg twinに拡張してlower idealの情報から記述することを目指した。別の観点から組合せ論的数を得てこの予想を定式化することに成功した。

当該研究課題であるGKM理論の適用できるregular semisimple Hessenberg多様体について研究を行った。特にA型のregular semisimple Hessenberg多様体の同変コホモロジー環についての研究を行った。Hessenberg多様体は正ルート系の良い部分集合（lower ideal）に対して定まる旗多様体の部分多様体（subvariety）である。特に対称群の表現として見たときの同変コホモロジー環の振る舞いについて調べた。その同変コホモロジー環には2種類の対称群の作用があり、今回研究したのは同変パラメーターに非自明に作用し、トートロジカル直線束（の制限）のオイラー類に自明に作用するものである。このとき、同変コホモロジー環をそれらのオイラー類で割った環を考えると、次数を忘れると対称群の表現として正則表現が得られることが知られている。また、この作用はregular semisimple Hessenberg多様体のHessenberg twinと呼ばれる多様体のコホモロジー環への作用として自然に現れることが分かった。特に旗多様体のコホモロジー環を対称群の正則表現と見たとき、各既約表現はnの分割に対応し、その個数はその分割上のヤング盤の数に等しく、各ヤング盤のcochargeという量を計算するとどの次数にその既約表現が現れるかを知ることができる。この既知の結果をregular semisimple Hessenberg多様体のHessenberg twinに拡張してlower idealの情報から記述することを目指した。別の観点から組合せ論的数を得てこの予想を定式化することに成功した。