J-準同型による球面の非安定ホモトピー群の大域構造の研究

本研究の目的は，球面の非安定ホモトピー群の大域構造を調べることである．Lie群や等質空間など様々な分野で重要な位相空間のホモトピー論的性質を研究する上で重要なものが位相空間のホモトピー群であり，その群構造を調べる上で基礎となるのが球面のホモトピー群である．しかし，球面のホモトピー群，特に非安定ホモトピー群の複雑さからホモトピー群の研究は進展していない．回転群のホモトピー群から球面のホモトピー群への写像であるJ-準同型により，回転群の安定ホモトピー群の周期性による球面の安定ホモトピー群の周期性が知られており，非安定領域においてもJ-準同型により回転群の情報を反映させることで，球面のホモトピー群における大域構造の情報が得られると研究代表者は考えている．今年度は，回転群のホモトピー群の研究，特に，生成元の位数の決定やJ-準同型による像の情報を得るために，Toda bracket, matrix Toda bracket による生成元の族の構成について研究を行った．Toda bracket により生成元の族をいくつか構成でき，その中には，先行研究により得られている回転群のホモトピー群の生成元の再構成を含むものもあり，既知の部分を含む回転群のホモトピー群の規則性を見出すことができ，J-準同型を通して球面のホモトピー群の情報を得ることができた．matrix Toda bracket による生成元の族の構成には至っていないが，個別の生成元については matrix Toda bracket による構成により位数を決定することができた．

本研究の目的は，球面の非安定ホモトピー群の大域構造を調べることである．Lie群や等質空間など様々な分野で重要な位相空間のホモトピー論的性質を研究する上で重要なものが位相空間のホモトピー群であり，その群構造を調べる上で基礎となるのが球面のホモトピー群である．しかし，球面のホモトピー群，特に非安定ホモトピー群の複雑さからホモトピー群の研究は進展していない．回転群のホモトピー群から球面のホモトピー群への写像であるJ-準同型により，回転群の安定ホモトピー群の周期性による球面の安定ホモトピー群の周期性が知られており，非安定領域においてもJ-準同型により回転群の情報を反映させることで，球面のホモトピー群における大域構造の情報が得られると研究代表者は考えている．今年度は，回転群のホモトピー群の研究，特に，生成元の位数の決定やJ-準同型による像の情報を得るために，Toda bracket, matrix Toda bracket による生成元の族の構成について研究を行った．Toda bracket により生成元の族をいくつか構成でき，その中には，先行研究により得られている回転群のホモトピー群の生成元の再構成を含むものもあり，既知の部分を含む回転群のホモトピー群の規則性を見出すことができ，J-準同型を通して球面のホモトピー群の情報を得ることができた．matrix Toda bracket による生成元の族の構成には至っていないが，個別の生成元については matrix Toda bracket による構成により位数を決定することができた．