数論的手法により構成されるフラクタル図形の幾何学的性質について

本研究では、ベータ展開や複素連分数展開といった数論的手法により決まるフラクタル図形の境界を具体的に記述する方法を開発し、境界を解析することによりフラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を調べることを研究目的としている。本目的を達成するために、当該年度に取り組んだ研究における主な実績は以下の通りである。（1）Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開により得られた3つのフラクタル図形の境界上の substitution ルール（集合方程式）を決定するために、それらをプロトタイルとするタイル張りを利用し、境界の自己相似性を調べることにより、その候補になるものを挙げた。これらのsubstitution ルールに対してコンピュータ実験を行ったところ、実際のフラクタル図形の境界に近い曲線が得られることが分かった。また、研究協力者（仲田均氏（慶応大）、夏井利恵氏（日本女子大））と進めている複素連分数展開に関する基礎研究において、Lakein による複素連分数展開についても、Hurwitz 型の場合と同様にフラクタル図形とタイル張りが得られることが明らかになった。（2）Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成3 次 Pisot ユニットを固有値として持つ3次正方行列を選び、これらの行列を4つの場合に分類した。そのうち3つの場合について substitution（文字の置換規則）を決定し、Arnoux-伊藤の手法を拡張して Rauzy フラクタルとタイル張りを構成することができた。

本研究では、ベータ展開や複素連分数展開といった数論的手法により決まるフラクタル図形の境界を具体的に記述する方法を開発し、境界を解析することによりフラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を調べることを研究目的としている。本目的を達成するために、当該年度に取り組んだ研究における主な実績は以下の通りである。（1）Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開により得られた3つのフラクタル図形の境界上の substitution ルール（集合方程式）を決定するために、それらをプロトタイルとするタイル張りを利用し、境界の自己相似性を調べることにより、その候補になるものを挙げた。これらのsubstitution ルールに対してコンピュータ実験を行ったところ、実際のフラクタル図形の境界に近い曲線が得られることが分かった。また、研究協力者（仲田均氏（慶応大）、夏井利恵氏（日本女子大））と進めている複素連分数展開に関する基礎研究において、Lakein による複素連分数展開についても、Hurwitz 型の場合と同様にフラクタル図形とタイル張りが得られることが明らかになった。（2）Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成3 次 Pisot ユニットを固有値として持つ3次正方行列を選び、これらの行列を4つの場合に分類した。そのうち3つの場合について substitution（文字の置換規則）を決定し、Arnoux-伊藤の手法を拡張して Rauzy フラクタルとタイル張りを構成することができた。