安定性からみた標準ケーラー計量の統一的な研究

本研究は，射影代数多様体に付随する多項式（チャウ形式，判別式，超判別式，フルヴィッツ形式）に対する（特殊）線形群の作用を調べることで，射影代数多様体上の標準ケーラー計量と安定性の関係を理解することを目標としている． 当該年度において Gelfand-Kapranov-Zelevinsky の理論を用いて超判別式多面体を求めることを目標とした．チャウ形式や判別式はグラスマン多様体の超曲面の定義多項式である．一方で，超判別式は射影代数多様体と射影空間の直積の判別式であるが，ケーリー・トリックを用いると，チャウ形式や判別式同様にグラスマン多様体の超曲面の定義多項式に変換される．この多項式は，最近になり Sturmfels 氏によりフルヴィッツ形式として研究されていた．以上を踏まえて，以下の研究成果を得た．大楠氏（当時，福岡大学）との共同研究において，GKZ ベクトルと massive GKZ ベクトルの中間物（フルヴィッツ・ベクトル）を定義した．さらに，トーリック曲面において，フルヴィッツベクトルの凸包がフルヴィッツ多面体（重み多面体）に含まれることを示した．その後，S. Paul 氏の K エネルギー汎関数の公式とトーリック多様体における Boucksom-久本-Jonsson の非アルキメデス版 Donaldson-二木不変量の公式を組み合わせることで，滑らかな射影代数多様体において，フルヴィッツベクトルの凸包がフルヴィッツ多面体と等しいことを示すことができた．これにより，今まで以上に，トーリック多様体において超判別式多面体（=フルヴィッツ多面体）の具体的な計算が可能となる．

本研究は，射影代数多様体に付随する多項式（チャウ形式，判別式，超判別式，フルヴィッツ形式）に対する（特殊）線形群の作用を調べることで，射影代数多様体上の標準ケーラー計量と安定性の関係を理解することを目標としている． 当該年度において Gelfand-Kapranov-Zelevinsky の理論を用いて超判別式多面体を求めることを目標とした．チャウ形式や判別式はグラスマン多様体の超曲面の定義多項式である．一方で，超判別式は射影代数多様体と射影空間の直積の判別式であるが，ケーリー・トリックを用いると，チャウ形式や判別式同様にグラスマン多様体の超曲面の定義多項式に変換される．この多項式は，最近になり Sturmfels 氏によりフルヴィッツ形式として研究されていた．以上を踏まえて，以下の研究成果を得た．大楠氏（当時，福岡大学）との共同研究において，GKZ ベクトルと massive GKZ ベクトルの中間物（フルヴィッツ・ベクトル）を定義した．さらに，トーリック曲面において，フルヴィッツベクトルの凸包がフルヴィッツ多面体（重み多面体）に含まれることを示した．その後，S. Paul 氏の K エネルギー汎関数の公式とトーリック多様体における Boucksom-久本-Jonsson の非アルキメデス版 Donaldson-二木不変量の公式を組み合わせることで，滑らかな射影代数多様体において，フルヴィッツベクトルの凸包がフルヴィッツ多面体と等しいことを示すことができた．これにより，今まで以上に，トーリック多様体において超判別式多面体（=フルヴィッツ多面体）の具体的な計算が可能となる．