多様な斜積拡散過程の解析とその極限定理

本研究では、「高次元チューブ内を運動する拡散過程がそのチューブが潰れていくとき、どのような様相を示すのか」という点に焦点を当て、拡散過程の列の収束定理とそこに現れる極限過程について研究を行っている。断面が超球面となる高次元チューブ内を運動する粒子の運動に対応する確率過程を一次元拡散過程の正値加法的汎関数を用いたブラウン運動の時間変更と捉え、正値加法的汎関数の列と斜積に現れる関数の列を考え収束定理を取り扱っている。当該年度は、特に高次元チューブの断面となる超球面を運動する確率過程について検討を行った。断面が d-2 次元の球面と同相であるような d 次元のユークリッド空間中のチューブ内を動く粒子の運動を、原点からの距離に関わる一次元拡散過程と球面上のブラウン運動との斜積拡散過程によって表現し本研究を遂行した。一次元拡散過程に関して保存的であることを仮定せずに、フェラー性を示し、確率過程の解析的な量であるディリクレ形式を決定した。領域内を運動する確率過程を取り扱い際に、領域の境界での状況が重要な点となる。一次元拡散過程の境界条件は、フェラーの意味で、正則、流出、流入、自然へ一次元拡散過程を特徴づける尺度関数とスピード測度によって分類できる。加えて正則である場合には、吸収壁または反射壁という状況が考えられる。今回得られた結果と自身の以前の結果により、上記で挙げた境界下で超球面内を運動する確率過程とその時間変更過程について、確率論的な性質と解析的な量を決定することが可能となった。これにより高次元チューブ内を運動する確率過程について、様々な境界条件の下で収束定理を取り扱う手がかりができた。また今年度、高次元チューブ内を運動する確率モデルを一次元拡散過程を正値加法的汎関数を用いたブラウン運動の時間変更と捉え直すことにより収束定理を検討した。

本研究では、「高次元チューブ内を運動する拡散過程がそのチューブが潰れていくとき、どのような様相を示すのか」という点に焦点を当て、拡散過程の列の収束定理とそこに現れる極限過程について研究を行っている。断面が超球面となる高次元チューブ内を運動する粒子の運動に対応する確率過程を一次元拡散過程の正値加法的汎関数を用いたブラウン運動の時間変更と捉え、正値加法的汎関数の列と斜積に現れる関数の列を考え収束定理を取り扱っている。当該年度は、特に高次元チューブの断面となる超球面を運動する確率過程について検討を行った。断面が d-2 次元の球面と同相であるような d 次元のユークリッド空間中のチューブ内を動く粒子の運動を、原点からの距離に関わる一次元拡散過程と球面上のブラウン運動との斜積拡散過程によって表現し本研究を遂行した。一次元拡散過程に関して保存的であることを仮定せずに、フェラー性を示し、確率過程の解析的な量であるディリクレ形式を決定した。領域内を運動する確率過程を取り扱い際に、領域の境界での状況が重要な点となる。一次元拡散過程の境界条件は、フェラーの意味で、正則、流出、流入、自然へ一次元拡散過程を特徴づける尺度関数とスピード測度によって分類できる。加えて正則である場合には、吸収壁または反射壁という状況が考えられる。今回得られた結果と自身の以前の結果により、上記で挙げた境界下で超球面内を運動する確率過程とその時間変更過程について、確率論的な性質と解析的な量を決定することが可能となった。これにより高次元チューブ内を運動する確率過程について、様々な境界条件の下で収束定理を取り扱う手がかりができた。また今年度、高次元チューブ内を運動する確率モデルを一次元拡散過程を正値加法的汎関数を用いたブラウン運動の時間変更と捉え直すことにより収束定理を検討した。