量子統計における漸近理論

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最も大きい目標であった漸近表現定理の証明の完成に至る。この定理は量子統計モデルの列が局所漸近正規性を有してかつ漸近D不変性という性質を持つ場合に、任意の量子的統計量の列を量子ガウス状態族の統計量に帰着できることを主張する。この定理は古典統計理論における漸近表現定理の量子統計への拡張となっているが、漸近D不変性を要求する点が古典統計との大きな違いである。漸近D不変性は決して特殊な条件ではなく、量子統計モデルを表現するヒルベルト空間が有限次元でかつI.I.D.モデル列の場合には必ず成り立つ。また非I.I.D.モデル列で漸近D不変性を持つような例も見つかっている。漸近表現定理の証明はフォン・ノイマン代数の位相の性質を積極的に活用することで実現した。量子漸近表現定理を利用することで多くの統計的に重要な定理を導出することができる。実際我々は、量子漸近表現定理を用いて漸近ミニマックス定理や正則推定量の限界を導出することに成功した。これらの定理は漸近的な重み付き平均二乗誤差の下界が極限量子ガウスモデルの重み付き平均二乗誤差の下界である Holevo bound と一致することを主張している。この下界を我々は漸近表現バウンドと呼んだ。漸近表現バウンドはI.I.D.モデル列の場合はモデル列のHolevo bound と一致するが、非I.I.D.モデル列においては新規のバウンドとなっている。この研究成果は査読付きの学術論文に掲載されることが決まっている。またこの研究成果とこれまでの量子統計に関する研究の経緯についての講演を大阪大学にて行った。