量子系で実現される準可解性と拡張された超対称性の探索

本年度はＮ＝４の場合のＢ型Ｎ重超対称性の性質を解明するための多角的な研究を遂行した。まず直接的なアプローチとして、四次元のＢ型部分空間を不変にする二階の線形微分演算子が満たすべき必要十分条件、並びにＢ型４重超対称電荷とintertwineする演算子のペアが満たすべき必要十分条件を導出した。この二組の条件が等価か否かを現段階で解明中である。次に間接的なアプローチとして、高階微分演算子を用いる方法と行列微分演算子を用いる方法を試行した。高階微分演算子の解析では二階のときと同様にintertwineする場合には演算子間に拡張された超代数を満たすことが幾つかの例で実証することができ、その中には今までにない全く新しいタイプの代数関係を発見したが、必要十分性は成立しないことが示唆された。この点を別の角度から検討するためにも有力視されるのが行列微分演算子の解析である。この種の演算子に対するＮ重超対称性は本研究課題採択以前に定式化したまま進捗がなかったが、本年度においてリー超代数の普遍被覆環を用いて準可解な演算子を構成する手法を援用するアイデアに思い至り、これを試行した。具体的にはosp(2/2)とq(2)と分類される二種類のリー超代数の行列微分演算子による表現を採用し、準可解性を満たすように構成された演算子がＮ重超対称性を満たす条件を解析した。その結果、代数条件はintertwineする条件よりも一般的には強いために必要十分性は成立せず、超電荷の行列構造が非対角になるような不変部分空間でなければ非自明なＮ重超対称性をもつ行列微分演算子が構成できないことを明らかにした。これらの成果について論文を執筆し、現段階で投稿中である。

本年度はＮ＝４の場合のＢ型Ｎ重超対称性の性質を解明するための多角的な研究を遂行した。まず直接的なアプローチとして、四次元のＢ型部分空間を不変にする二階の線形微分演算子が満たすべき必要十分条件、並びにＢ型４重超対称電荷とintertwineする演算子のペアが満たすべき必要十分条件を導出した。この二組の条件が等価か否かを現段階で解明中である。次に間接的なアプローチとして、高階微分演算子を用いる方法と行列微分演算子を用いる方法を試行した。高階微分演算子の解析では二階のときと同様にintertwineする場合には演算子間に拡張された超代数を満たすことが幾つかの例で実証することができ、その中には今までにない全く新しいタイプの代数関係を発見したが、必要十分性は成立しないことが示唆された。この点を別の角度から検討するためにも有力視されるのが行列微分演算子の解析である。この種の演算子に対するＮ重超対称性は本研究課題採択以前に定式化したまま進捗がなかったが、本年度においてリー超代数の普遍被覆環を用いて準可解な演算子を構成する手法を援用するアイデアに思い至り、これを試行した。具体的にはosp(2/2)とq(2)と分類される二種類のリー超代数の行列微分演算子による表現を採用し、準可解性を満たすように構成された演算子がＮ重超対称性を満たす条件を解析した。その結果、代数条件はintertwineする条件よりも一般的には強いために必要十分性は成立せず、超電荷の行列構造が非対角になるような不変部分空間でなければ非自明なＮ重超対称性をもつ行列微分演算子が構成できないことを明らかにした。これらの成果について論文を執筆し、現段階で投稿中である。