無限次元解析と量子確率

1.新しい独立性の概念 離散グラフ上の乱歩に付随するラプラシアンの研究に示唆されて、「シングルトン独立性」という新しい概念を導入した。これによって、これまでに議論されてきた様々な独立性(古典、ボゾン、フェルミ、自由、ほか)の概念を統一し、拡張することができた。さらに、量子論の確率極限から導出される様々なタイプの量子ノイズに組合せ論的視点が与えられた。2.量子確率微分方程式 ホワイトノイズ解析と量子論の確率極限理論の成果を併せて、「量子確率微分方程式=正規順ホワイトノイズ方程式」を指導原理とする妥当性が得られた。さらに、凸体上の超関数論を発展させ、これまでの確率解析では極めて特異な対象であった高次ホワイトノイズを含む方程式の解の一意存在や解析的な性質を明らかにしつつある。3.量子確率解析の非線形拡張 高次ホワイトノイズが自然に理論に取り込まれたため、生成・消滅過程(1次ホワイトノイズ)とゲージ過程(特別な2次ホワイトノイズ)に関する演算規則を与えてきた従来の量子伊藤公式は拡張された。実際、この拡張は「くりこみ」をともなったものとなり、新しい展開を見せている。この方向で、ノイズを含む非線形方程式の解析を進め、量子系の散逸や非平衡系との関連を見直すことが目下の課題である。4.レヴィラプラシアンと無限次元解析 ヤンミルズ方程式とレヴィラプラシアンとの関係を基礎にして、新しいタイプの解を調和解析的に構成したり、逆に、レヴィラプラシアンの一般化を議論した。さらに、レヴィラプラシアンに付随する熱方程式・ブラウン運動を構成し、ディクレ形式を研究した。超関数を用いた作用素論の直接の応用として、無限次元ラプラシアンと無限次元回転群の関係を調和解析的視点から研究した。

1.新しい独立性の概念 離散グラフ上の乱歩に付随するラプラシアンの研究に示唆されて、「シングルトン独立性」という新しい概念を導入した。これによって、これまでに議論されてきた様々な独立性(古典、ボゾン、フェルミ、自由、ほか)の概念を統一し、拡張することができた。さらに、量子論の確率極限から導出される様々なタイプの量子ノイズに組合せ論的視点が与えられた。2.量子確率微分方程式 ホワイトノイズ解析と量子論の確率極限理論の成果を併せて、「量子確率微分方程式=正規順ホワイトノイズ方程式」を指導原理とする妥当性が得られた。さらに、凸体上の超関数論を発展させ、これまでの確率解析では極めて特異な対象であった高次ホワイトノイズを含む方程式の解の一意存在や解析的な性質を明らかにしつつある。3.量子確率解析の非線形拡張 高次ホワイトノイズが自然に理論に取り込まれたため、生成・消滅過程(1次ホワイトノイズ)とゲージ過程(特別な2次ホワイトノイズ)に関する演算規則を与えてきた従来の量子伊藤公式は拡張された。実際、この拡張は「くりこみ」をともなったものとなり、新しい展開を見せている。この方向で、ノイズを含む非線形方程式の解析を進め、量子系の散逸や非平衡系との関連を見直すことが目下の課題である。4.レヴィラプラシアンと無限次元解析 ヤンミルズ方程式とレヴィラプラシアンとの関係を基礎にして、新しいタイプの解を調和解析的に構成したり、逆に、レヴィラプラシアンの一般化を議論した。さらに、レヴィラプラシアンに付随する熱方程式・ブラウン運動を構成し、ディクレ形式を研究した。超関数を用いた作用素論の直接の応用として、無限次元ラプラシアンと無限次元回転群の関係を調和解析的視点から研究した。