絶対Euler積を用いた絶対ゼータ関数の研究

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絶対ゼータ関数とは、与えられた関数に対して定まる複素関数であり、与えられた関数が(Laurent)多項式環の元であるものについて今まで中心的に調べられてきた。本年度は、東京理科大学の平川義之輔氏との共同研究において、多項式環より広い解析関数のクラスAを導入し、それに対する絶対ゼータ関数を調べた。そして、Aの元に対する絶対ゼータ関数(またはその対数微分)に対して三つの表示(級数表示・積分公式・絶対Euler積)を得た。特に、絶対Euler積という無限積表示についての結果は、多項式に対する絶対ゼータ関数で既に得られていた絶対Euler積を一般化したものである。この結果により、研究の目的である絶対Euler積を用いた絶対ゼータ関数の幾何的特徴付けをするにあたって、与える関数がAの元であればその絶対ゼータ関数が絶対Euler積を持つと保証できるようになった。さらに、本年度平川義之輔氏との共同研究において、従来の方法では絶対ゼータ関数が“標準的に”定義できない幾何的対象に対して、標準的に絶対ゼータ関数を構成する手法を得た。その手法は、ある数列に対してその数列の増大度を反映するような“天井/床多項式"と呼ばれる関数を取る手法である。この手法によって、今までは扱えなかった楕円曲線に対して、関数等式を満たしたりBetti数と整合したりするような良い絶対ゼータ関数を標準的に定義することができた。この結果により、本研究で扱いたかったS代数のスペクトルに対して標準的に絶対ゼータ関数を構成するための土台が整った。以上の結果については、現在論文としてまとめている途中であり、論文が完成し次第投稿する予定である。