非線形シュレディンガー方程式の初期値による解の大域挙動の分類

通过非线性薛定谔方程的初始值对解的全局行为进行分类

• 批准号: 22KJ2778
• 负责人: 渡邉 南
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Tsuda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2778/
• 关键词: 非線形シュレディンガー方程式; 基底状態; 爆発; 散乱; エネルギー臨界; 質量臨界; 非線形楕円型方程式

本年度に行った研究は２つある．１つは，菊池弘明氏(津田塾大学)と浜野大氏(早稲田大学)との共同研究により，空間３次元において３次と５次の二重冪の非線形シュレディンガー方程式の大域挙動を研究した．解の大域挙動を調べるためには，解の分散性を表すビリアル汎関数と，方程式に対応する作用汎関数を最小にする楕円型方程式の非自明解である基底状態が重要な役割を果たす．実際，これまでの研究から，基底状態より小さい作用汎関数を持つ初期値の挙動についてはビリアル汎関数の符号によって散乱(時刻無限大で線形の解に近づく)か爆発するかのいずれかに分類できることがわかっている．そこで，本研究では基底状態と等しい作用汎関数を持つ初期値について解の挙動を調べた．この場合，時間が正の無限大では基底状態に近づき，時間が負の方向では，散乱する解と爆発する解が存在することが分かった．また，それらの解の挙動を時間に関して不変な集合に分類することが出来た．もう一つの研究は，空間２次元において指数型の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の大域挙動の研究である．Dinh-Keraani-Majdoub(2020)によって基底状態より小さい作用汎関数を持つ初期値から出発する解については爆発・散乱と分類することがわかっている．しかしながら，散乱については質量臨界は含まれていない．従って，基底状態より小さい場合は質量臨界を含む場合の散乱について研究している．今後は二重冪と同様に，基底状態と等しい場合についても調べる．

今年进行了两项研究。首先，通过Kikuchi Hiroaki（Tsuda University）和Hamano Dai（Waseda University）之间的联合研究，我们研究了空间三维空间中三阶和五阶双重座位的非线性Schrödinger方程的全球行为。为了研究解决方案的全局行为，代表解的病毒功能和椭圆方程的非平凡基础状态，这些椭圆方程的非平凡基接地态最小化了与方程相对应的函数功能起着重要作用。实际上，先前的研究表明，小于基态的动作函数的初始值的行为可以分类为散射（近似于时间无限时近似线性溶液），也可以被病毒功能的迹象爆炸。因此，在这项研究中，我们研究了对初始值的解决方案的行为，其功能与基态相等。在这种情况下，发现时间接近正无穷大的基态，并且在负方向上有分散的溶液和爆炸溶液。此外，这些解决方案的行为可以归类为时间不变集。另一项研究是对空间二维中具有指数非线性项的非线性schrödinger方程的全球行为研究。 DINH-KERAANI-MAJDOUB（2020）被发现，从小于基态的动作函数开始的初始值开始的溶液被归类为爆炸/散射。但是，散射没有质量关键。因此，当基态小于基态时，我们正在研究散射。将来，我们还将调查状态等于基态的案例，就像双重基础一样。