非線形シュレディンガー方程式の初期値による解の大域挙動の分類

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本年度に行った研究は２つある．１つは，菊池弘明氏(津田塾大学)と浜野大氏(早稲田大学)との共同研究により，空間３次元において３次と５次の二重冪の非線形シュレディンガー方程式の大域挙動を研究した．解の大域挙動を調べるためには，解の分散性を表すビリアル汎関数と，方程式に対応する作用汎関数を最小にする楕円型方程式の非自明解である基底状態が重要な役割を果たす．実際，これまでの研究から，基底状態より小さい作用汎関数を持つ初期値の挙動についてはビリアル汎関数の符号によって散乱(時刻無限大で線形の解に近づく)か爆発するかのいずれかに分類できることがわかっている．そこで，本研究では基底状態と等しい作用汎関数を持つ初期値について解の挙動を調べた．この場合，時間が正の無限大では基底状態に近づき，時間が負の方向では，散乱する解と爆発する解が存在することが分かった．また，それらの解の挙動を時間に関して不変な集合に分類することが出来た．もう一つの研究は，空間２次元において指数型の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の大域挙動の研究である．Dinh-Keraani-Majdoub(2020)によって基底状態より小さい作用汎関数を持つ初期値から出発する解については爆発・散乱と分類することがわかっている．しかしながら，散乱については質量臨界は含まれていない．従って，基底状態より小さい場合は質量臨界を含む場合の散乱について研究している．今後は二重冪と同様に，基底状態と等しい場合についても調べる．