固有でない双曲的測地空間における無限遠の研究

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固有な双曲的測地空間において知られている Gromov 境界とエンドの空間の間の関係性を固有でない場合に拡張することを考察した. 具体的には, 固有な双曲的測地空間の Gromov 境界は測地境界と考えることができ,定理1: 固有な双曲的測地空間において, 測地境界からエンドの空間への自然な写像が連続かつ全射で, 各エンドのファイバーが測地境界の連結成分になるという事実が知られているので, 考える空間が固有でない場合にも類似の結果が成り立つのではないかと考えた. 固有とは限らない双曲的測地空間の Gromov 境界は測地境界とは同相でなく, 擬測地境界と同相であることが筆者によって示されているので, 固有とは限らない双曲的測地空間を考える場合には定理1における測地境界は擬測地境界に置き換える必要がある. その際, 擬測地境界からエンドの空間への自然な写像は定義できないため, エンドの空間の概念を緩め, 擬エンドの空間という概念を導入することを検討している. そうすることにより, 定理1の類似物として,予想1: (固有とは限らない)双曲的測地空間において, 擬測地境界から擬エンドの空間への自然な写像が連続かつ全射で, 各擬エンドのファイバーが擬測地境界の連結成分になるという結果が成り立つのではないかという着想が得られる. いまのところ, 順極限を用いることで擬エンドの空間が上手く定義でき, 予想1における写像が well-defined かつ連続であることは確かめることができている. 苦戦をしているのが「全射性」と「各擬エンドのファイバーが擬測地境界の連結成分になる」という部分であり, 両者は「適切な擬測地半直線の構成」の問題に帰着できるので, そこを突破できればという状況である.