Analysis of noncommutative rational functions in terms of free probability

本研究は確率変数から可換性を排除した非可換確率論の枠組みにおいて、非可換な確率変数達から作られる有理関数を解析することが目的である。これまでの研究成果の一つ目に非可換有理関数に関する分布収束に関する共著論文を書き、特に非可換有理関数から得られるランダム行列の経験固有値分布に関する結果を残した。二つ目に確率論における独立性の非可換な派生である自由独立性を満たす半円分布達から作られる作用素が非可換有理関数であることと、Dual systemと呼ばれる作用素との交換子が有限階数であることが同値であるという非可換有理関数の特徴づけに関する結果を残した。三つ目に量子物理的な視点で独立なガウス分布をパラメータqで変型したqガウス分布達に対して、二つ目の研究成果で書いたDual systemが存在し、自由確率論におけるエントロピーが自明な場合を除き常に有限であるという共著論文を執筆した。これら３つの論文はそれぞれMathematische Annalen、Journal of Functional Analysis、Advances in Mathematicsに昨年度アクセプトされ出版された。さらに、これらの研究成果に関する発表をRIMS研究集会「作用素環論の最近の進展」や台湾で開催されたEast Asia Core Doctoral Forum in Mathematics といった国内外の研究集会での発表や、京都作用素環セミナー、UC Berkeley Probabilistic Operator Algebra Seminarといったセミナー発表を行なった。まだ非可換有理関数の確率分布に関する解析的な性質やDual systemを持つ一般の非可換確率変数に対する有理関数の特徴づけに関しては十分にわかっていないため、残りの期間で解決したい。

本研究は確率変数から可換性を排除した非可換確率論の枠組みにおいて、非可換な確率変数達から作られる有理関数を解析することが目的である。これまでの研究成果の一つ目に非可換有理関数に関する分布収束に関する共著論文を書き、特に非可換有理関数から得られるランダム行列の経験固有値分布に関する結果を残した。二つ目に確率論における独立性の非可換な派生である自由独立性を満たす半円分布達から作られる作用素が非可換有理関数であることと、Dual systemと呼ばれる作用素との交換子が有限階数であることが同値であるという非可換有理関数の特徴づけに関する結果を残した。三つ目に量子物理的な視点で独立なガウス分布をパラメータqで変型したqガウス分布達に対して、二つ目の研究成果で書いたDual systemが存在し、自由確率論におけるエントロピーが自明な場合を除き常に有限であるという共著論文を執筆した。これら３つの論文はそれぞれMathematische Annalen、Journal of Functional Analysis、Advances in Mathematicsに昨年度アクセプトされ出版された。さらに、これらの研究成果に関する発表をRIMS研究集会「作用素環論の最近の進展」や台湾で開催されたEast Asia Core Doctoral Forum in Mathematics といった国内外の研究集会での発表や、京都作用素環セミナー、UC Berkeley Probabilistic Operator Algebra Seminarといったセミナー発表を行なった。まだ非可換有理関数の確率分布に関する解析的な性質やDual systemを持つ一般の非可換確率変数に対する有理関数の特徴づけに関しては十分にわかっていないため、残りの期間で解決したい。