プリズマティックコホモロジーの高レベル対数化とp進解析化

本年度では，高レベルプリズマティックとq-クリスタリンコホモロジー，およびこれらのコホモロジーのp進解析化に関する理論の整備を行った。具体的には，高レベルプリズマティックサイトの基礎環が分岐している状況で，δπ構造を用いてプリズマティックに関する理論の基礎を構成した。一方，通常の高レベルクリスタリンサイトでは二項係数の高レベル一般化が用いられているが，自分はq整数に関する計算を用いて，高レベルq-クリスタリンサイトの理論を考えるための，高レベル二項係数の自然なq類似を定義した。また，高レベルq-クリスタリンコホモロジーを計算するための高レベルq-ド・ラーム複体を構成するためには，q-PD包絡の高レベル化について考慮する必要があるが，自分はこれの候補を与えた。クリスタリンコホモロジーのp進解析化として，固有な代数多様体に対しては収束アイソクリスタルが考えられ，これは高レベルクリスタリンサイト上のアイソクリスタルでレベルを動かした際の共通部分と考えることができるが，自分は高レベルプリズマティックサイト等の構造を用いてp進解析化を進めた。特に，収束プリズマティック及びq-アイソクリスタルを具体的に構成し，これらについての導来逆極限との同型が成立する等，期待されるべきいい性質を持つことを示した。また，プリズマティックとq-アイソクリスタルの間の比較も行った。最後に，有理加群のプリズマティッククリスタルの部分圏と収束プリズマティックアイソクリスタルの圏の間の圏同値についても示した。これから，収束プリズマティックコホモロジーの理論ができた場合，有限性の結果等が成り立つことが期待される。

本年度では，高レベルプリズマティックとq-クリスタリンコホモロジー，およびこれらのコホモロジーのp進解析化に関する理論の整備を行った。具体的には，高レベルプリズマティックサイトの基礎環が分岐している状況で，δπ構造を用いてプリズマティックに関する理論の基礎を構成した。一方，通常の高レベルクリスタリンサイトでは二項係数の高レベル一般化が用いられているが，自分はq整数に関する計算を用いて，高レベルq-クリスタリンサイトの理論を考えるための，高レベル二項係数の自然なq類似を定義した。また，高レベルq-クリスタリンコホモロジーを計算するための高レベルq-ド・ラーム複体を構成するためには，q-PD包絡の高レベル化について考慮する必要があるが，自分はこれの候補を与えた。クリスタリンコホモロジーのp進解析化として，固有な代数多様体に対しては収束アイソクリスタルが考えられ，これは高レベルクリスタリンサイト上のアイソクリスタルでレベルを動かした際の共通部分と考えることができるが，自分は高レベルプリズマティックサイト等の構造を用いてp進解析化を進めた。特に，収束プリズマティック及びq-アイソクリスタルを具体的に構成し，これらについての導来逆極限との同型が成立する等，期待されるべきいい性質を持つことを示した。また，プリズマティックとq-アイソクリスタルの間の比較も行った。最後に，有理加群のプリズマティッククリスタルの部分圏と収束プリズマティックアイソクリスタルの圏の間の圏同値についても示した。これから，収束プリズマティックコホモロジーの理論ができた場合，有限性の結果等が成り立つことが期待される。