Homotopy theoretic study of algebraic varieties with modulus

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2022年度の研究では，モチーフ理論を一般化する試みのうち最近特に発展の著しい相互層の理論に焦点を当てて研究を行なった．相互層の理論は申請者が構築を目指しているモジュラス対のホモトピー理論のアーベル版と見做せるものである．NTT基礎数学研究所の宮﨑弘安氏との共同研究においては，Kahn-Saito-Yamazakiによる相互層の理論を一般のNoetherスキーム上に拡張し，底変換関手の理論を構築した．また同研究において，相互層の非A^1不変部分にWitt環が作用することを見出し，相互層の捻れと可除性に関するBinda-Cao-Kai-Sugiyamaの定理を一般化した形で再証明することに成功した．一般の相互層に対してこのような秩序立った構造が存在することは，今まで全く知られていなかったタイプの結果と言える．さらに同研究において，正標数の代数幾何学において重要な役割を果たすde Rham-Witt複体が，あるモジュラス対のモチーフとして表されることを証明した．これはMilnorのK理論をモチヴィックコホモロジーとして解釈するSuslin-Voevodskyの定理の加法的な類似と見做せるものであり，様々な応用が期待される．また申請者単独の研究では，モジュラス対の圏上のある条件を満たす層に対し，コホモロジーのブローアップ不変性を証明することができた．これにより，特異点解消のもとでHodge実現関手およびWitt実現関手を構成することに成功した．