持ち上げ可能ベクトル場の観点からの写像の特異点の研究

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以下では特に断らない限り、写像芽は無限回微分可能、または複素解析的であるとする。多重写像芽fに対して、写像tfは、fの定義域上のベクトル場全体のなす集合から、fに沿うベクトル場全体のなす集合への写像で、定義域上のベクトル場に対して、fの微分とそのベクトル場の合成により得られる fに沿うベクトル場を対応させるものとして定義される。今年度では持ち上げ可能ベクトル場の一般論を構成する足がかりを得るため、降下可能ベクトル場に関してさらなる一般論の構築を目指した。結果として、昨年度に得られた定理において、余階数高々1の仮定は不要であることがわかった。すなわち、左有限確定である多重写像芽に対する降下可能ベクトル場全体のなす加群が有限生成であることを構成的に証明した。構成的な証明であるため、具体的に加群の生成元を計算する方法を与えたことにもなる。余階数高々1の仮定を取り除いた場合、一般には証明が煩雑になってしまうが、この困難はtfによって0に移るようなベクトル場の積分曲線に着目することで切り抜けられるのである。この結果は現在、国際学術雑誌に投稿中である。なお、ここから持ち上げ可能ベクトル場に関する結果を得るには、その写像の像の上で消えるベクトル場全体のなす加群を解析する必要がある。一般に、代数多様体上で消える関数全体のなす加群の構造に関する結果はあるが、それらの結果も即座に使える状況ではなく、持ち上げ可能ベクトル場に関して類似の結果が得られるかは、現状ではよくわからない。降下可能ベクトル場それ自身は、波面の特異点の分岐の研究や、ある種の特異点の分類に応用がある写像芽のopeningを考える際に重要であり、今回の研究はこれらの研究の発展に寄与することが期待される。