非线性Maxwell方程的自适应有限元方法研究及应用

本项目以工程变压器和大规模集成电路中的电磁场问题为主要目标，研究时谐Maxwell方程的hp-自适应有限元方法、非线形时变Maxwell方程的适定性理论、并行自适应有限元方法和程序实现。本项目的主要成果如下：（1）提出了新的涡流数学模型，将系统大尺度和小尺度之比减小了1000倍，从而可以直接模拟硅钢片结构的三维涡流分布，并且避免了传统均匀化方法在导体边界层内的模型误差。（2）建立了非线性电磁涡流问题新模型解的适定性，并且证明新数学模型的解收敛于原问题的解。（3）基于高阶有限元离散，我们提出了新数学模型的并行自适应有限元方法，并基于软件平台PHG编写了并行计算程序。利用并行机群LSSC3进行上亿未知数规模的数值模拟，获得了与实验数据高度吻合的数值结果。（4）提出了变压器模拟的简化H-ψ公式，证明了非线性涡流问题弱解的存在唯一性，去掉了硅钢片外敷的微米厚绝缘漆膜，将系统大尺度和小尺度之比减小了1000倍，并证明了精确解和近似解之间的最优误差估计，获得了与实验数据高度吻合的数值结果。（5）针对大型变压器的硅钢片结构，我们证明了三维非线性时变Maxwell方程组的均匀化模型，将系统大小尺度之比从减小了6个数量级，并证明当硅钢片厚度趋于零时，小尺度解强收敛于均匀化Maxwell方程的解。（6）基于四面体网格，提出了时谐Maxwell方程的hp-自适应有限元方法，证明了后验误差估计的可靠有效性等数学理论。基于后验误差估计和PHG平台，研制了Maxwell方程的hp-自适应有限元并行程序，并利用多个奇性算例和工程变压器的Benchmark问题，验证了算法的有效性。（7）对电容参数提取问题，设计了一套线性可扩展的并行有限元计算框架，研制了并行软件工具包ParAFEMCap,对具有2232 根导线和22464个通孔的内存电路进行了数值模拟，并行效率达到75%。（8）提出了一种新的各向异性完美匹配层方法，对于各向异性的散射体具有更大的适应性，且具有更好的稳定性。（9）粗糙界面反散射问题是近场光学中主要关心的问题之一，我们针对具有双周期结构的衍射光栅问题，提出了一种傅里叶变换和渐进分析相结合的方法，获得了数据和界面的一个显式表现关系，可以实现稳定的并且具有亚波长超分辨率的界面重构。