若干与鲁津型猜测相关联之问题的研究

本项目主要开展对调和分析中两类问题的研究。一是对一些重要积分算子有界性的研究，诸如Bochner- Riesz平均、积分平均极大算子、低维曲面上的积分算子、交换子以及其它相关联的积分算子在不同函数空间上的有界性；二是对一些重要微分方程适定性的研究，诸如NLKG方程、Navier-Stokes方程、Euler方程等多种不同类型的适定性问题。本项目建立了Bochner-Riesz算子的交换子在适当指标范围内在 空间上的紧性；沿凸曲线以及变well-curved曲线的超奇性Hilbert变换在一定指标范围内在 空间上的有界性；Hausdorff算子 在一维时在Hardy空间上有界有关函数 的充要条件。本项目用一种新方法解决了非线性函数 在模空间上估计的一个公开问题（实值情况下 非整数的情形），进而建立了带非线性项 的非线性 Klein - Gordon方程Cauchy问题在模空间上的适定性；对带色散项的超临界SQG方程解的整体适定性有关的一个公开问题做了推进，等等。项目按计划顺利完成了预定的研究任务，达到了预定的学术研究、学术交流、人才培养等目标。已在诸如《Science China - Mathematics》、《Michigan Mathematical Journal》、《Nonlinear Analysis - TMA》、《Nonlinear Analysis - RWA》等重要数学刊物上正式发表了二十多篇学术论文，这些成果解决或推进解决若干重要的公开猜测，推进了调和分析及有关领域的学术进步。此外，合作创办了一个数学期刊；主办了国内与国际学术会议6个；项目组成员邀请来访交流做学术报告有保存记录的就有50 多人次，外出参加学术会议等活动的也有几十次；培养出站博士后1 人，毕业博士生3人、硕士生11人，目前在站博士后2人，在校博士生7人、硕士生6人。通过项目的研究，还促进了数学人才的培养以及学术氛围的提升。