图引导的连续时间Cucker-Smale模型的同步行为研究

本项目重点考虑非对称非三角型的图引导下的连续时间Cucker-Smale 模型的同步行为(flocking)。 由于邻接矩阵对称性和三角型结构的缺失，Cucker-Smale模型的原有方法，比如Lyapunov函数方法和归纳法，都已不再适用。在本项目的研究中，为了克服这一难点，我们考虑在大耦合系数下的Cucker-Smale模型的极限行为，运用Tikhonov奇异扰动理论得到系统的同步行为。使用Tikhonov理论的好处是其子系统之一——fast system是渐近稳定的。本部分成果已经形成论文并被Quarterly of Applied Mathematics(SCI)接收。这一结果一方面完善和充实了Cucker-Smale模型的相关理论，另一方面，由于Cucker-Smale模型在工程问题，如飞行器编队中具有潜在应用价值，因此也具有一定的实际意义。..在本项目研究中，我们注意到另一类多个体系统——Kuramoto模型。这一模型描述了自然界中广泛存在的频率同步现象，是多年来学者们关注的热点问题之一。某种角度上看，它与Cucker-Smale模型是类似的。但是，区别于其它多个体系统，其耦合项由三角函数给出，因此有其特别之处。多年来，人们集中于在完全图连接下的系统，其特点是每个振子在群体中扮演完全相同的角色。在本项目中，我们考虑了具有网络结构的Kuramoto模型。我们考虑了分等级的Kuramoto模型的同步行为，以及对称网络上的Kuramoto模型。对等级制度情形，我们将数学归纳法推广到Kuramoto模型的研究中；对对称网络情形，我们使用了Lojasiewicz不等式的相关理论。本部分的研究成果分别写成论文并已投稿（共2篇）。