复形的 Auslander-Reiten 理论

Auslander-Reiten理论是现代代数表示论的基石之一，其研究涉及函子范畴理论、三角范畴、同伦范畴以及代数的上同调理论。在项目的执行中，我们主要研究了Auslander关于由对象决定态射的理论，以及该理论与Auslander-Reiten理论之间的关系；研究了复形同伦范畴的Auslander-Reiten公式；研究了张量积代数的Hochschild上同调代数的结构，以及有限Abel群代数的Hochschild上同调代数。项目的主要成果如下：1.证明了加法范畴是对偶簇当且仅当其满足Auslander关于由对象决定态射的条件；2.利用由对象决定态射的理论，给出了Abel范畴满足Serre对偶的充分必要条件；3.证明了张量积代数的Hochschild上同调代数的Batalin-Vilkovisky结构与代数的张量积是相互协调的；4.作为应用，计算了某些有限Abel群代数的Hochschild上同调代数上的Lie括号。上述成果对理解Auslander-Reiten序列第三项的刻画这一公开问题提供了新的视角，为下一步的工作奠定了坚实的基础。