有限元分析方法已被用来解决越来越多的非线性力学问题，然而非线性有限元分析结果的可信性一直是个难题。项目通过基于单元或分片的Flux-free方法或更广义的Flux-free方法对非线性有限元分析结果的可信性的量化评价或可信区间进行了研究。按照原申报书中提出的三个方面的研究内容，项目取得的研究成果如下：.首先，找到了一种基于分片Flux-Free的上界估计方法，即采用了求解全局问题的光顺有限元方法；通过构造对偶问题，给出了两种区间公式，并针对线性问题进行了验证。同时，以单元和分片为子单位构成并行计算架构，给出了材料非线性分析每一个迭代步的验证，从而形成最后输出量结果的上下界。.其次，给出了上界松弛技术的理论证明，类似位移有限元方法，仅需求解一个疏松代数方程式。重点研究了刚度阵松弛方法，参考了二次规划方法的思想，证明了通过对刚度的松弛可导致一个超过精确解所在的无限维函数空间的函数松弛空间。这项工作的意义在于从理论上证明了通过松弛可以得到精确输出的上界，但是在具体计算时得到的上界有时较大。.第三，首次把统计物理的概念和公式用来求解节点的接触力。找到了的统计物理与接触力学有限元离散接触力分布之间的相似性，用统计物理的概念来描述和理解接触节点处的接触力状态。根据这个发现，将统计物理中的熵的概念引入，通过迭代求解，可以得出节点接触力。.第四，利用代理对偶模型找到了一种无摩擦和有摩擦接触应力上界的验证方法。推导出了一个分式表达的显式总接触力公式，得到了两个接触节点力总和上界的解析公式。这是本项目除使用统计物理的概念求解接触应力外，取得的另一项重要结果。同时，通过使用精细有限元网格得到的节点接触力总和的上界，和使用粗糙有限元网格得到的节点接触力，来确定精细有限元网格上的接触应力上界。.第五，采用二阶锥互补法和二次规划等方法，对材料非线性和几何非线性等非线性问题的输出量上界进行了研究，采用控制约束区域等方法，达到实现求解输出量上界的目地。.最后，本项目研究取得了多个很好的研究成果，完成了预期目标，在国际杂志发表论文四篇，国际杂志待发表两篇（均通过一审），另发表国内杂志及会议论文和报告多篇。