某些奇异非线性扩散方程解的行为

本项目旨在研究某些奇异非线性扩散方程(组)解的行为。 这种方程能够用来描述渗流理论、相变理论、等离子物理、生物群体动力学等许多领域中广泛存在着的扩散现象.主要研究了以下内容：（1）奇异椭圆方程解的存在性以及多解存在性等；（2）奇异抛物方程解的唯一性及解的性质如长时间渐近性等（3）扩散方程（组）解的性质如大时间行为、稳态解的存在性等。. 项目组已按照计划基本完成预期目标，在国际期刊上发表论文13篇，其中有11篇论文被SCI检索。主要结果阐述如下：.(1)研究了一类低阶项有奇性的热方程.对一维情形，证明了最大的正经典解的存在性和多个弱解的存在性，并得到了解的长时间渐进行为以及解关于方程中某个参数的 . 渐进行为等方面的结果. .(2)研究了一类非散度型退化抛物方程的某种粘性解（非Lions意义下的）.受Caffarelli和Vazquez思想的启发，证明了某种粘性解的存在惟一性.其中关于惟一性方面的结 . 果补充了相关工作(European J Appl Math, 7(1996), 453–471). .(3)研究了奇异椭圆方程解的存在性、多解存在性和不存在性.. 研究了一类奇异半线性椭圆方程Dirichlet问题。利用正则化方法，证明了最大弱解的存在性；通过研究相应的径向微分方程，证明了多个弱解的存在性；给出了解不存在的充分条件，还对一个特殊情形给出了解存在的充分必要条件，这些结果是对相关工作(如Journal of Differential Equations, 246(10)(2009), 4006-4042; Rev. Mat. Iberoamericana 24, (2008), 597-616)的重要补充或改进。 .(4)研究了某些非线性扩散方程正稳态解的存在性及其性质等问题。. 研究了一个核反应堆模型的正稳态解，这个模型可由一类扩散方程组描述.证明了某种条件下正稳态解的惟一性；得到了正稳态解关于某个参数的渐进行为方面的结果.这些结果推广或改进了已有相关工作(J.Differential Equations(246(1)( 2009),358-37)). . 完整地给出了一类反应-扩散方程组Neumann边值问题正稳态解存在的充分必要条件．