高维小波和平衡多小波的构造及其应用

小波分析是近二十多年来迅速发展起来的一门新的学科,它具有理论深刻和应用广泛的双重意义，现被广泛地应用到各个领域，特别是高维小波和平衡多小波已被广泛地应用到信号处理、图像处理与分析（如图像编码、图像压缩、纹理分析、模式识别）、量子场论、CT成像、分形、数值计算等领域,因而对高维小波和平衡多小波研究具有重要的理论意义和应用前景。本项目通过对高维小波、高维小波框架、平衡多小波的理论研究（主要包括构造方法、紧支撑性、正则性、消失矩和对称性以及数值算例等问题）,奠定这类小波在图像处理中应用的理论依据,并设计出图像去噪和图像边缘检测的新算法,从而为小波的实际应用提供了新的技术手段。主要研究内容有：(1)任意矩阵伸缩的高维(双)正交小波的理论研究，包括构造方法、紧支撑性、正则性、消失矩、对称性及数值算例等问题；(2)建立高维小波框架的理论研究模式，设计数值算例，对研究具有任意矩阵伸缩的高维框架构造算法奠定基础；(3) 给出具有任意伸缩因子的高阶平衡区间多小波的算法设计和应用实例，进而给出具有高阶平衡的任意有限区间多小波的构造算法和应用实例。奠定这类小波在图像处理中应用的理论依据；(4)建立小波系数边缘分布的有效模型,基于该模型设计出贝叶斯图像去噪算法；(5)设计出图像边缘检测的算法，从而为小波的实际应用提供新的技术手段。主要研究结果有：（1）给出了某一类特殊伸缩矩阵的三元不可分小波构造方法，讨论了紧支撑性、消失矩、对称性。由于该方法参数选取具有很大的自由度,因此可以根据不同的实际情况来动态确定,从而为这类小波在信号处理方面的应用提供了便利；（2）研究了特殊伸缩矩阵的二元小波紧框架、高维Parseval框架小波、任意伸缩因子最小能量区间小波框架和最小能量多小波框架的构造与特征刻画；（3）系统地研究了区间平衡多小波，给出了区间平衡多小波的构造算法、等价刻画和数值算例；（4）基于FDR算法、脊波变换和阈值去噪算法的思想，设计出一些新的图像去噪算法，由于这些算法在信噪比、均方误差和视觉效果方面优于某些传统算法，因而具有一定的应用价值；（5）基于细胞神经网络、混合差分进化算法和粒子群优化算法，提出了多邻域细胞神经网络分别融合混合差分进化方法和粒子群优化方法的边缘检测算法，这些算法具有较好的抗噪性、边缘识别性(边缘定位、检测精度和准确度)，因而具有一定的应用前景。