具有间断点的振动系统的逆谱问题

逆谱问题在地球物理、量子力学、气象学、电子学等领域有着十分广泛而直接的应用,也是求解数学物理中非线性发展方程的有效途径之一。本项目立足于数学理论，结合相关的物理现象，从新的观点出发，对具有间断点的振动系统逆谱问题进行系统和深入的研究。经过四年的研究，我们取得了以下重要结果。. 考虑闭区间上内部点条件含谱参数的非连续Sturm-Liouville (SL)问题。通过构造适当的Hilbert空间，使其在该空间上生成自伴算子，探明其谱的性质，为解决逆问题奠定了基础。给出了谱信息唯一确定算子的结论，即Borg两组谱和Marchenko谱数据唯一性定理。进而，利用谱映射方法，给出了势函数、边界条件以及内部点条件参数的重构算法。研究混合谱数据对应的逆谱问题，建立了该问题的Hochstadt半逆定理以及Gesztesy-Simon唯一性定理等。此外，考虑逆传输特征值问题，给出了所有特征值和部分实特征值所对应的规范常数，在不同环境下，唯一确定势函数的结论。该结果圆满回答了Aktosun和Cakoni等人提出的公开问题。. 基于非连续SL问题，建立新的Borg两组谱定理，即用原SL问题的谱和一个非连续问题的谱来确定势函数。按照不同类型的界面条件，分别给出了唯一确定势函数的条件；在较弱的条件下，证明最多有有限多个势函数与两组谱对应。. 研究以特征函数结点为谱数据的逆结点问题。通过建立特征值与势函数Lebesgue点之间的关系，提出了解决逆结点问题的新方法，并给出了稠密结点集唯一确定势函数的非超定条件。进一步将此方法运用于非连续SL问题，完全解决了它的逆结点问题。. 对于势函数在内部子区间已知的情形，借助于内部谱数据，给出了部分特征值唯一确定势函数以及边界条件的结论。对于定义在半实轴上的奇异SL微分算子，当势函数属于Bargmann- Jost- Kohn类时，我们证明散射矩阵和势函数在有限区间上的信息可唯一确定势函数，此结论可以使没有物理意义的规范常数缺失。. 除上述对于SL算子的结论外，课题组还研究了Jacobi 算子, SL微分束和Dirac微分算子等振动系统相应的逆谱问题。 .