熵和测度分别是动力系统和遍历理论的核心内容。 系统的熵和系统中各种的遍历测度的存在性都是系统最重要的性质。本项目将研究对于特定的微分动力系统（主要是满足一定条件的部分双曲系统），由系统的所有遍历测度的测度熵构成的集合的结构和性质。Herman猜测当可微系统的拓扑熵大于零的时候（通常这样的系统被认为是混沌的， 非常复杂），系统一定不是唯一遍历的。而根据Katok的猜想，该集合应包含从零到系统的拓扑熵的整个区间。该问题由Katok在上世纪八十年代初证明非一致双曲情形之后提出，直到近期才由申请人取得一些新的进展。申请人将在已有工作的基础上， 继续探索新的思路和方法，为最终解决一般情况下Katok的猜想创造可能。该问题与动力系统领域多个分支甚至数论、分形几何等都有广泛的联系。本项目的研究可以丰富和促进国内动力系统领域的全面发展。