高退化平衡点的焦点、中心问题

平面微分系统有关中心型平衡点的研究是微分方程中的一个基本课题。首先要判定平衡点是否中心型（中心-焦点问题或者单值问题），再进一步精细区分焦点和中心（稳定性问题或者中心问题）。对于第一个问题，当系统在平衡点的线性部分非退化或者退化性不高时，这个问题已经解决了；但是当线性部分是高退化时，只解决少部分特殊情况。对于第二个问题，现对于线性部分非退化的情况都只解决了二次的情形，对于平衡点高退化的系统，现在已知的工作主要是计算一些系统的一阶广义Liapunov函数值。我们要研究的课题是对于高退化系统的中心-焦点问题给出一般情况下退化平衡点是中心型的充要条件，即给这个问题一个确切的回答；对于稳定性问题作进一步探索，不仅要改进一阶广义Liapunov函数的算法，得到更易操作的公式，还要给出更高阶Liapunov函数的计算公式。我们还可以把这些理论结果应用于几类广泛的生态系统的动力学分析上。