调和分析在Bedrosian等式和非线性Fourier分解中的应用

为了更好的理解和表示一个信号，我们通常将信号进行不同的分解，最经典的分解是Fourier分解。最近，根据解析信号与Hardy空间中的函数的联系，研究者找到了一组满足瞬时频率为正的有理解析正交基， 这组基本质上是Fourier级数的推广，被称为有理Fourier级数。 为了更好地理解这组有理解析正交基，我们研究了满足瞬时频率为正的有理Fourier级数与Fourier级数的联系与区别，具体如下：（1）我们研究了有理Fourier级数的逐点收敛性问题，得到了类似Fourier级数逐点收敛性判断的Dirichlet-Dini条件和Jordan条件；（2）我们给出了有理Fourier级数和共轭有理Fourier 级数在有界变差条件下的收敛速度估计，得到了类似于Fourier级数的Dirichlet-Jordan 定理和W. H. Young 定理的一个数量刻画. 最后, 证明了这两个定理在调和有界变差条件下也成立；（3）另外，我们也给出了有理Fourier系数的收敛阶估计。当f为周期的有界变差函数时，其有理Fourier系数的阶为O(1/n) 。类似的， 我们研究了推广的各类有界变差函数的有理Fourier系数的收敛阶级问题，比如P-有界变差，有界变差等；（4）我们证明了有理Fourie级数是L^p空间的一组Schauder基， 单位圆和实轴上被同时处理了。.此外， 利用后移和前移不变子空间, 我们给出了解析信号与共轭解析信号的乘积仍为解析信号或共轭解析信号的充要条件。作为上述结论的应用，我们考虑了当f或者g为带宽有限解析信号时，Bedrosian等式H(fg)=fHg成立的条件，也给出了带宽有限解析信号保持带宽不变的条件。