本项目主要研究 (1)Fokker-Planck与Witten Laplace算子的谱性质。Fokker-Planck算子是非自拌算子，与自伴Witten Laplace算子相比较， 对于非自伴算子而言目前还没有一般的谱理论, 关于非自伴Fokker-Planck算子谱分析的工具非常少。 我们主要考虑带电势能以及电磁场的Fokker-Planck算子的最佳亚椭圆估计、Witten Laplace算子的半经典分析，从而建立这两类算子预解式的紧性判别法则。 通过上述新的判别法则，我们可以回答统计物理与随机过程中的一个基本问题: 在什么条件下，Fokker-Planck方程与Witten Laplace方程的Cauchy问题解是指数趋近稳态解的? (2) Boltzmann方程弱解的正则性。Boltzmann方程及其相关模型(Landau方程、线性化方程等)是统计物理和动理学方程中的基本模型。这类方程由于其复杂性(主要是非线性和退化性)给数学研究带来很多的困难和挑战，最近几十年Boltzmann方程弱解的正则性以及唯一性一直是动理学方程的热门课题。本项目在扰动框架下研究Boltzmann方程弱解的正则性，我们首先建立了线性化的Boltzmann碰撞算子的象征运算; 基于此象征运算，我们证明了非线性Boltzmann方程弱解解的Gevrey光滑性效应。我们的结果将有助于研究Boltzmann方程弱解的正则性。(3) Prandtl型方程在Gevrey空间中的适定性。在有界区域中，非滑动边界条件下 Navier-Stokes方程的粘性极限问题至今仍是流体力学中极具挑战性的难题，到目前为止仅有部分结果(例如解析初值、稳态流以及Gevrey初始值等),其中主要的困难在于由于粘性的作用而在接触面附近出现的Prandtl边界层。Prandtl边界层理论是100多年流体力学发展的重要基石。本项目主要对于没有任何结构性假设条件的初始值，证明了几类Prandtl型方程在Gevrey框架下的适定性结果。