函数空间上的算子与算子代数及其不变量

本项目围绕函数空间上两类特殊算子（Toeplitz算子、复合算子）及其生成的算子代数进行研究。研究了这些算子的有界性、紧性及其结构，在Fock空间、Dirichlet空间上构造了一类特殊符号的算子，这类算子的符号处处无界，但对应算子却是迹类算子。这个结果大大改进了已有的结果，过去人们只知道存在无界符号的紧Toeplitz算子，我们通过构造一个特殊的“圆型”区域，通过这类区域构造了一类处处无界的函数，其对应的Toeplitz算子是迹类算子。此外还研究了高维Hardy空间上Toeplitz算子的换位问题，这是涉及算子结构的重要问题。我们证明，解析符号的Toeplitz算子换位中的Toeplitz算子一定是解析的，同时给出了两个具有特殊符号的解析Toeplitz算子具有相同换位的充要条件。. 在完成本项目预期任务的基础上，我们还开展了Hardy-Sobolev空间上算子的研究，这是一类与调和分析、PDE有着密切关系的重要函数空间，几乎涵盖了所有经典的解析函数空间，而且由于空间结构与分数阶导数有关，所以研究的手段与经典空间有本质不同。我们得到了这些空间的初步结论，包括对偶空间、空间的包含关系等，还研究了这些空间上具有特殊符号的乘子性质。