Syzygy和伽罗华表示及其在算术统计中的应用
批准号：
12071371
项目类别：
面上项目
资助金额：
52.0 万元
负责人：
赵永强
依托单位：
学科分类：
代数数论
结题年份：
2024
批准年份：
2020
项目状态：
已结题
项目参与者：
赵永强
项目摘要
结项摘要
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中文摘要
为研究Green猜想，Schreyer引入了代数曲线的相对典范syzygy消解。如何决定所有的相对典范syzygy消解向量丛一直是一个公开的问题。最近，申请人注意到syzygy消解理论和伽罗华群表示论的一个意想不到的新的联系，基于这一观察，在本项目中，申请人计划建立代数曲线的syzygy消解理论和群表示论的关系，进而决定所有的syzygy消解向量丛。.这一新的联系在数域和函数域的参数化和计数问题上有重要应用：不但将数域的参数化问题放在统一的框架之下，而且提出了新的群表示论的方法。另外，也提出了新的数的几何的问题。
英文摘要
In order to study Green's conjecture, Schreyer introduced the relative canonical syzygy resolution for algebraic curves. However, it is still an open problem on how to determine this syzygy resolution i.e. all syzygy bundles. Recently, we noticed some surprising new connections between syzygy resolution and representation theory. Based on this observation, we hope to further study this new connection and to determine all syzygy bundles..This new connection between syzygy and representation theory has important applications in the parametrization theory of number fields or function fields and counting problems on fields with bounded discriminant. It not only put the parametrization problem of number fields or function fields into a unified framework but also put forward a new method to this problem.
代数曲线的相对典范syzygy 消解（relative canonical syzygy resolution）理论是代数曲线消解理论重要工具，这一理论本身有独立的研究兴趣并在曲线的Hurwitz 模空间理论和算术统计中有重要应用。本项目的主要研究内容为建立代数曲线的相对典范syzygy 消解理论和群表示论的关系，由此决定所有syzygy 向量丛，即所有的Schreyer 不变量。这一主要研究目标已基本完成。对于相对典范消解理论在高次数域或者函数域的参数化和计数问题的应用，目前仍然在探索考察中。此项目后期调整了研究内容，考虑了谱zeta函数的特殊值和图谱特征值的重数等问题。 本项目已完成研究内容如下。.(a) 建立了一般的(generic)情形代数曲线的相对典范syzygy 消解理论和决定了所有syzygy 向量丛， 特别是建立了相对典范syzygy消解理论和群表示论的关系。 这在曲线摸空间理论和和数的几何上都有重要应用。 本项目的主要研究目标已基本完成。.(b) 发现并建立了通常黎曼zeta函数（更一般的，狄利克雷L-函数）的特殊值和循环图的谱zeta函数（一般的，谱L-函数）特殊值的关系。这一发现表明了图谱的zeta函数和L-函数的重要性，为进一步研究这类zeta函数提供了新的动机。.(c) 与合作者利用组合数学中固定顶点和谷底排列的计数公式给出了计算Sturm-Liouville 谱zeta函数特殊值的公式，做为应用给出了黎曼zeta函数在偶数处值的新公式，以及伯努利数的新的闭公式。.(d) 系统研究了任意维数离散环面的特征值的重数问题，得到一系列与连续环面特征值不一致的结果，比如， 二维离散环面的非零特征值的重数最佳上界是24。 这项研究的主要工具用到数论中的深刻工具：解单位方程 (unit equation) 和单位根的理论。此部分内容已经完成并投稿。..在项目执行期间，发表学术论文3篇，一篇发表在 Crelle 杂志， 一篇发表在 Journal of Number Theory， 一篇发表在 European Journal of Combinatorics；完成预印本一篇在投。 培养了博士研究生1名在读。
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