奇异不定Sturm-Liouville谱问题的研究
批准号：
12101356
项目类别：
青年科学基金项目（C类）
资助金额：
30.0 万元
负责人：
孙付
依托单位：
学科分类：
常微分方程
结题年份：
2024
批准年份：
2021
项目状态：
已结题
项目参与者：
孙付
项目摘要
结项摘要
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中文摘要
本项目将研究极限圆型非振动端点下奇异不定Sturm-Liouville微分算子谱问题中的特征函数和特征值，包括边界条件与特征函数在端点处的渐近性、不同特征值下边界条件之间的等价性以及非实特征值的定量估计和（非）存在性的充分条件。该项目所研究的奇异不定谱问题与正则不定谱问题和非局部Sturm-Liouville特征值问题密切相关，并进一步回答Mingarelli在1986年提出的关于不定Sturm-Liouville问题非实特征值的存在性和估计等开问题。
英文摘要
The current project will study the eigenfunctions and eigenvalues for the spectral problems of singular indefinite Sturm-Liouville differential operators with limit-circle type endpoints. The main contents of the study include: the asymptotic behaviours of eigenfunctions at the endpoints and the equivalence of boundary conditions, a priori bounds and the (non)existence of non-real eigenvalues. This problem is closely related to the regular indefinite spectral problem and the nonlocal spectral problem. In addition, the project will answer the open problem which was raised by Mingarelli in 1986 about the existence and bounds of non-real eigenvalues for the indefinite Sturm-Liouville problem.
奇异微分算子谱理论自产生以来一直是数学物理、生物数学、地球物理、气象物理、量子力学及工程技术等领域的重要数学工具，特别是在量子力学中得到了深刻而广泛的应用，成为理解和解释量子现象的有力工具。由于权函数变号和奇异性，导致谱的性质和结构与正则右定问题有明显不同且更加复杂，其本质区别之一就是非实特征值的出现。而对奇异不定Sturm-Liouville非实特征值的定性和定量分析至今还没有形成类似于自伴算子那样完善的理论体系。因此，本项目研究了极限圆型非振动端点下奇异不定Sturm-Liouville微分算子谱问题中的特征函数和非实特征值的定量估计问题，给出了特征函数的性质和由主解、非主解构成的边界条件之间的关系以及不同特征值下边界条件之间的等价性联系，进而给出了非实特征值的定量估计结果。其次，研究了一类带有扰动项的勒让德方程在极限圆型端点下的奇异复系数特征值问题。将奇异不定问题研究方法进行优化，再结合微分算子理论、实分析、测度理论和q-微分导数，研究了非局部不定Sturm-Liouville谱问题和q-Sturm-Liouville特征值问题，得到特征函数的定性结果和非实特征值定量先验估计。本项目处理极限圆型端点下奇异不定问题非实特征值的定量估计和存在性方法是一种全新解决思想，并且相关结论及其处理方法可为位涡动力系统的稳定性和量子物理的研究提供新的研究思路。该项目所研究的奇异不定谱问题、非局部微分算子问题和q-Sturm-Liouville特征值问题进一步回答了Mingarelli在1986年提出的关于不定Sturm-Liouville问题非实特征值的存在性和估计等开问题。
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