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Parahoric G-Higgs丛模空间的构造

批准号：
12101243
项目类别：
青年科学基金项目（C类）
资助金额：
30.0 万元
负责人：
孙浩
依托单位：
华南理工大学
学科分类：
辛几何与数学物理
结题年份：
2024
批准年份：
2021
项目状态：
已结题
项目参与者：
孙浩
关键词：
层模空间parahoric G-Higgs丛非交换霍奇对应

项目摘要

结项摘要

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中文摘要
在20世纪90年代，Simpson证明了"非交换霍奇对应"，G-Higgs丛的模空间是该对应的重要组成部分。作为该对应的一个拓展，人们在同一时期提出了“wild非交换霍奇对应”的猜想。近些年，Biquard, Boalch, Mundet等人引入了parahoric G-Higgs丛的概念，并从几何分析的角度给出了关于parahoric G-Higgs丛的“Hithchin-Kabayashi对应”的证明，“Hitchin-Kabayashi对应"正是“wild非交换霍奇对应”的一部分。在此背景下，本项目希望从代数几何的角度出发，结合Biquard等人在几何分析领域中的研究，用几何不变量理论构造parahoric G-Higgs丛的模空间。
英文摘要
In the 1990s, Simpson proved the "nonabelian Hodge correspondence", of which the moduli space of G-Higgs bundles is a very important part. As a generalization of the correspondence, people made the conjecture "wild nonabelian Hodge correspondence" at the same period. In the recent years, Biquard, Boalch, Mundet et al. introduced the concept of parahoric G-Higgs bundles, and proved the "Hitchin-Kabayashi correspondence" of parahoric G-Higgs bundles in the field of geometric analysis. Note that "Hitchin-Kabayashi correspondence" is a part of the "nonabelian Hodge correspondence". With respect to this background, this project will be based on the viewpoint of algebraic geometry, and use the geometric invariant theory to construct the moduli space of parahoric G-Higgs bundles, which will be based on the work of Biquard et al..
Simpson在1994年构造出了Higgs bundle的模空间。结合Ramanathan关于G-bundle模空间的构造方法，人们得到了射影（紧致）代数曲线上G-Higgs bundle的模空间。Dolbeault模空间作为该模空间的一个重要应用是非阿贝尔霍奇理论中所研究的主要几何对象之一。在非紧代数曲线上，非阿贝尔霍奇理论中的Dolbeault模空间仍没有被构造。本项目的主要研究内容是用几何不变量理论构造parahoric G-Higgs torsor的模空间，由此构造出非紧代数曲线上非阿贝尔霍奇理论中的Dolbeault模空间。. 在构造parahoric G-Higgs torsor的模空间的过程中，我们首先给出了parahoric G-Higgs torsor稳定性的定义并研究了其性质；然后，我们建立了parahoric G-Higgs torsor和root stack上G-bundle的一一对应关系，并证明该对应关系也是保持住稳定性的；最后，我们将parahoric G-Higgs torsor的稳定性与几何不变量理论中的稳定性建立了联系，从而构造出了其模空间。由此，完成了本项目的主要研究内容。. 与此同时，我们也将研究过程中的方法和结论运用到了更多的数学问题中。首先，我们将parahoric G-Higgs torsor这一几何对象引入到非紧代数曲线上wild情形下的非阿贝尔霍奇理论的研究中，建立了该情形下的非阿贝尔霍奇对应。然后，我们借助于parahoric G-Higgs torsor的研究方法，将其中的一部分方法引入到Hitchin morphism的研究中，并由此证明了代数曲面上关于Hitchin morphism像集的一个猜想。最后，我们给出了parahoric G-Higgs torsor模空间上的一个Poission结构。. 接下来，我们希望将该模空间运用到非紧情形的非阿贝尔霍奇对应理论的研究中。特别地，我们希望在模空间意义下完整地建立非紧代数曲线上的非阿贝尔霍奇对应；同时，我们也希望将parahoric G-Higgs torsor这一概念拓展到高维情形，并以此为出发点研究非紧高维光滑代数簇上的非阿贝尔霍奇对应。
基于非阿贝尔霍奇对应的G-Stokes局部系统和表示的研究
  • 批准号：
    --
  • 项目类别：
    省市级项目
  • 资助金额：
    15.0万元
  • 批准年份：
    2024
  • 负责人：
    孙浩
  • 依托单位：
    华南理工大学
国内基金
海外基金